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1、引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月复数是世纪人们在解代数方程时引入的年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著重要的艺术一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为 和，积为但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的因而复数在历史上长期不能为人民所接受“虚数”这一名词就恰好反映了这一点直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西），（魏尔斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作进行的到本世纪，复变
2、函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用第一章 复数与复变函数1 复数与复数运算教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商幂与根运算.教学重点：德摩弗公式.教学难点：德摩弗公式.教学方法：课时：2学时.1 复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，称为虚单位两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，
3、特别地，因此，全体实数是全体复数的一部分实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或设复数，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一
4、一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”3复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1 显然，对于任意复数均有， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2 （三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为 由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一
5、个特定值，并称满足条件 的一个值为的主角或的主幅角，则有 注意：当时，其模为零，幅角无意义从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有 同时我们引进著名的欧拉公式： 则可化为 与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有 因此 ， 公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当时可得 此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有 公式可推广到有限个复数的情况，
6、特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式： 例求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图 ）的参数方程为例 平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例 平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.作业:第42页 2,3,4 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义 满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点的，记为显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义 设为平面上的一个点集，若平面上
7、一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，则称为的内点定义 若的每个聚点都属于，则称为闭集若的所有点均为内点，则称为开集定义 若，均有则称为有界集，否则称为无界集2. 区域与约当曲线定义 若非空点集满足下列两个条件： 为开集 中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.定义 若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义 区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域的几个例子例 平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例 平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例与例所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域例 上半平面
8、 下半平面 它们都以实轴为边界，且均为无界区域左半平面 右半平面 它们都以虚轴为边界，且均为无界区域例 图1.4所示的带形区域表为.其边界为与，亦为无界区域例 图 所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域定义 设及是两个关于实数在闭区间上的连续实数，则由方程 所确定的点集称为平面上的一条连续曲线，称为的参数方程，及分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；的简单曲线称为简单闭曲线若在上时，及存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线定义 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线定义（约当定理） 任一简单闭曲线将平面唯一地分为
9、、三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质： 图1.5彼此不交与一个为有界区域（称为的内部），另一个为无界区域（称为的外部）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿绕行一周时，的内部（或挖）始终在的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为的正方向（或负方向）定义设为复平面上的区域，若内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域例如，例所示的区域均为单连通区域，例所示的区域为多连通区域（请读者针对定义自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9 1.5
10、复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.一、概念定义1：设为一复数集，若对都有确定的（一个或多个）复数与之对应，则称在上定义了一个复变函数，称为函数的定义域，与中对应的值的全体称为函数的值域、若对每个，尤为一个与之对应，称为单值函数，否则称为多值函数。 例：，及 均为单值函数，及均为多值函数今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数设是定义在点集上的函数，若令，则、均随着、而确定，即、均为、的二元实函数，因此我们常把写成 ， （1）其中均为二元实函数。这样的话，研究一个复变函数就相当于两个二元实函
11、数，复变函数的性质就取决于的性质，那么我们去研究二元实函数不就好了，为什么还要研究复变函数呢？这个问题下一章会告诉我们。在高等数学中，为了更加直观的研究函数的性质，经常把函数用几何图形表示出来，而这样通常会给我们很多帮助，但对于复变函数来说，因为它反映了两对变量和之间的对应关系，所以无法在同一平面或者同一三维空间中表示出来，而必须用到四维空间。然而，四维空间实际上并不直观，也不好理解，这就失去了我们想要直观表达的原意。因此，我们换个思路，用两个复平面来表达它们的对应关系。若用平面上的点表示自变量的值，而用另一平面平面上的点表示函数的值，那么在集合上可看做是平面上的点集变到平面上的点集的映射（或
12、变换）。与点所对应的点称为的像点，同时就称为的原像。例：问把平面上曲线映成平面上何种曲线？解：曲线的复数方程为，即曲线上的点可表示为：，则 ，。|二、复变函数的极限和连续性定义1：设在的去心邻域内有定义。若存在一复数，使得对于，使当时有，则称为函数当趋于时的极限，记为，或。极限是一种变化趋势，也就是当无限趋近于时，无限趋近于。定义1的几何意义是：对于，存在相应的，使得当变量进入的充分小去心时，它们的像点就落入一个（给定的）这就说明与的路径无关 可以看出，复变函数极限的定义与高等数学中一元实函数的极限定义相似，只是这里用圆形邻域代替了那里的区间邻域。而最大的不同点就在于与的路径无关，也就是说，在
13、邻域中无论从哪个方向以怎样的方式趋于，都趋于同一极限。相比来说，一元实函数的极限中只能在轴上沿着的左，右两个方向趋于，显然复变函数对极限存在的要求要严苛的多，而这正是复分析与实分析不同的根源因为形式上的类似，容易验证复变函数的极限具有类似于实函数极限的性质，：若极限存在，则极限是唯一的与都存在，则有 另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理1：设函数，则的充要条件是 及。 （1）（即把求复变函数极限的问题转化为求两个二元实函数的极限问题： ）证明：充分性：由（1）式可得：，使当时，有， （2），使当时，有， （3） 又因： （4）从而， ，取使得（2）（3）同时成立。必要性：当时有，使当时，有，由（4）式及不等式知有。例：问在有无极限？解：的定义域是全平面除去的区域，当时，令，则，考虑沿射线趋于零，有，显然，当不同，上述极限不同，因此极限随着的变化而变化，不唯一，从而极限不存在。课后题：讨论在的极限。定义2：若则称在连续
