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1、一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。一 行程问题1. 关系式为：路程=速度时间；速度=；时间=。行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条
2、件下会发生变化： 顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）； 逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）。 由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）逆水（风）速度+水流速度（风速）静水（无风）速度。例1 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B 两地的距离。例2一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的距离。 2.工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率工作时间。工作时间=，工
3、作效率=。例3 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？例4 收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？例5. 一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？三、经济问题，与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。经济类问
4、题主要体现为三大类：销售利润问题、优惠（促销）问题、存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。销售利润问题。利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。基本关系式有：利润=销售价（收入）成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）利润】；利润率=【利润=成本（进价）利润率】。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。优惠（促销）问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以
5、求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。其关系式有：利息=本金利率期数；利息税=利息税率；本息和（本利）=本金+利息利息税。例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。如果商店销售这种商品时，要获利12，那么这种商品的销售价应定多少？讲评：设销售价每件x 元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（510+4012.5），利润率
6、为12，利润为（510+4012.5）12。由关系式有（10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12 x=14.56例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？讲评：设定价为x元，七五折售价为75x，利润为25元，进价则为75x（25）=75x+25；九折销售售价为90x，利润为20元，进价为90x20。由进价一定，有 75x+25=90x20 x = 300例9. 李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为2.16。取款时扣除20利息税。李勇同学共得到本利
7、504.32元。问半年前李勇同学共存入多少元？讲评：本题中要求的未知数是本金。设存入的本金为x元，由年利率为2.16，期数为0.5年，则利息为0.52.16x，利息税为200.52.16x，由存贷问题中关系式有 x +0.52.16x200.52.16x=504.32 x = 500例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？讲评：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80x）元，不买卡花费金额为x元，故有200+80x = x x = 1000当x 1000时，如x=20
8、00 买卡消费的花费为：200+802000=1800（元） 不买卡花费为：2000（元 ） 此时买卡购物合算。当x 1000时，如x=800 买卡消费的花费为：200+80800=840（元） 不买卡花费为：800（元） 此时买卡不合算。4.溶液（混合物）问题溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。其关系式为：溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；浓度=100=100【纯度（含量）=100=100】；由可得到：溶质=浓度溶液=浓度（溶质+溶剂）。在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用
9、题中的主要等量关系。例11.把1000克浓度为80的酒精配成浓度为60的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。试通过计算说明该同学加水是否过量？如果加水不过量，则应加入浓度为20的酒精多少克？如果加水过量，则需再加入浓度为95的酒精多少克？讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关系，从而列出方程。本题中，加水前，原溶液1000克，浓度为80，溶质（纯酒精）为100080克；设加x克水
10、后，浓度为60，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x）60克。由加水前后溶质未变，有（1000+x）60=100080 x = 300 该同学加水未过量。设应加入浓度为20的酒精y克，此时总溶液为（1000+300+y）克，浓度为60，溶质（纯酒精）为（1000+300+y）60；原两种溶液的浓度分别为100080、20y，由混合前后溶质量不变，有（1000+300+y）60=100080+20 y=505.数字问题数字问题是常见的数学问题。一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：任何数=（数位上的数字位权），如两位数=1
11、0a+b；三位数=100a+10b+c。在求解数字问题时要注意整体设元思想的运用。例12. 一个三位数，三个数位上的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍。求这个数。讲评：设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（x+7），这个三位数则为100（x+7）+10x+3x。依题意有（x+7）+x+3x=17 x=2100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926例13. 一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那么所得的数等于原数的3倍，求原数。讲评：这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每
12、个数位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字1后的5位数为x，则原数为10+x，移动后的数为10x+1，依题意有 10x+1=10+x x = 42857 则原数为1428576.调配（分配）与比例问题调配与比例问题在日常生活中十分常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。调配问题中关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”；而在比例问题中则主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。例14.甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的书多5
13、倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多少书？讲评：本题难点是正确设未知数，并用含未知数的代数式将另一书架上书的本数表示出来。在调配问题中，调配后数量相等，即将原来多的一方多出的数量进行平分。由题设中“从甲书架拿100本书到乙书架，两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架上原有的书多200本。故设乙架原有x本书，则甲架原有（x+200）本书。从乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的书为（x100）本，甲架书变为（x+200）+100本。又甲架的书比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x100） x=180 x+200=380例15.教室内
14、共有灯管和吊扇总数为13个。已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇，共有这样的拉线5条，求室内灯管有多少个？讲评：这是一道对开关拉线的分配问题。设灯管有x支，则吊扇有（13）个，灯管拉线为条，吊扇拉线为条，依题意“共有条拉线”，有+x=9例16.某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生产螺丝120个或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？讲评：产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。本题中，设有x名工人生产螺母，生产螺母的个数为200x个，则有（22x）人生产螺丝，生产螺丝的个数为120（22x）个。由“一个螺丝要配两个螺母”即“螺母的个数是螺丝个数的2倍”，有 200x=2120（22x） x=12 22x=10例17. 地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏、水按25216的比例配制搅拌而成。现已将前三种料称好，公5600千克，应加多少千克的水搅拌？前三种料各称了多少千克？讲评：解决比例问题
