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1、第四章 高阶微分方程教学目标1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。2. 掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。4. 掌握高阶方程的应用。教学重难点 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。 教学方法 讲授，实践。教学时间 16学时教学内容 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法
2、；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 考核目标 1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言 讨论阶线性微分方程 （4.1）其中及都是区间上的连续函数如果，则方程（4.1）变为： （4.2）称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2
3、）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。定理1 如果及都是区间上的连续函数，则对于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件： （4.3）从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有及连续的整个区间上有定义。4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 （4.2）定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数。特别地，当时，即方程（4.2）有解 （4.4）它含有个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏
4、朗斯基行列式等概念。设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式 对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。 由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关.2)如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数.例1函数组在任意区间上都是线性无关的.解 比式=不恒等于常数在任意区间上成立：例2函数组在区间上线性相关.解 若取则故已知函数组在上线性相关.设函数在区间上均有阶导数,行列式 称为这些函数的伏朗斯基行列式。定理3 若函
5、数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数，使得 （4.6）依次对微分此恒等式，得到 （4.7）把（4.6）和（4.7）看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 。反之，其逆定理一般不成立。例如函数 和 在区间上，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式 （4.8）则当时，可知；当时，可知.即当且仅当时，(4.8)式对一切成立.故是线性无关的.推论1 如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即，则该函数组在上线性无关.但是，如果是齐线性方程（4.2）
6、的解，那么就有下面的定理：定理4 如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即 。证明：采用反证法。设有某个，使得。考虑关于的齐次线性代数方程组 （4.9）其系数行列式，故（4.9）有非零解。现以这组常数构造函数 根据叠加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道这个解满足初始条件 （4.10）但是显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。由解的唯一性，即知 ，即 因为不全为0，这就与线性无关的假设矛盾，定理得证。推论2 设是方程（4.2）定义在上的个解，如果存在，使得它的朗斯基行列式, 则该解组在上线性相关.推论3 方程（4.2）的个解在其
7、定义区间上线性无关的充要条件是，存在，使得它的朗斯基行列式.定理5 阶齐线性方程（4.2）一定存在个线性无关的解。定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为 （4.11）其中，是任意常数，且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。证明：由叠加原理知道（4.11）是（4.2）的解，它包含有个任意常数。这些常数是彼此独立的。事实上， 因此，（4.11）为方程（4.2）的通解；现在，我们证明它包括不方程的所有解。由定理1，方程的解唯一地决定于初始条件，因此，只需证明：任给一初始条件 （4.12）能够确定（4.11）中的常数的值，使（4.11）满足
8、（4.12）。现令（4.11）满足条件（4.12），得到如下关于的线性代数方程组： （4.13）它的系数行列式就是，由定理4知。根据线性代数方程组的理论，方程（4.13）有唯一解。因此，只要表达式（4.11）中常数取为，则它就满足条件（4.12），理得证。推论 方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于。因此可得结论：阶齐线性方程的所有解构成一个维线性空间。 方程（4.2）的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组。4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质1 如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也是方程（4.1）的解。性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。定
9、理7 设为方程（4.2）的基本解组，而是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为 （4.14）其中为任意常数。而且这个通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。证明：根据性质1易知（4.14）是方程（4.1）的解，它包含有个任意常数，像定理6的证明过程一样，不难证明这些常数是彼此独立的，因此，它是方程（4.1）的通解。现设是方程（4.1）的任一解，则由性质2，是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数，使得即 这就是说，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数。由于的任意性，这就证明了通解式（4.14）包括方程（4.1）的所有解。设是方程（4
10、.2）的基本解组，因而 （4.15）为（4.2）的通解。把其中的任意常数看作的待定函数，这时（4.15）变为 （4.16）将它代入方程（4.1），就得到必须满足的一个方程，但待定函数有个，即，为了确定它们，必须再找出个限制条件，在理论上，这些另加的条件可以任意给出，其法无穷，当然以运算上简便为宜，为此，我们将按下面的方法来给出这个条件。对微分等式（4.16）得 令 得到 对微分，并像上面一样做法，令含有函数的部分等于零，我们又得到一个条件 和表达式 继续上面做法，在最后一次我们得到第个条件 和表达式 最后，对微分得到 现将（4.16），代入（4.1），并注意到是（4.2）的解，得到 这样，我们
11、得到了含个未知函数的个方程，。题目组成一个线性代数方程组，其系数行列式就是，它不等于零，因而方程组的解可唯一确定，设求得 积分得 这里i是任意常数。将所得的表达式代入（4.16）即得方程（4.1）的解显然，它并且是方程（4.1）的通解。为了得到方程的一个解，只需给常数以确定的值。例如，当取时，即得解。 从这里可以看出，如果以知对应的齐线性方程的基本解组，那么非齐线性方程的任一解可由求积得到。因此，对于线性方程来说，关键是求出齐线性方程的基本解组。例3 求方程的通解，以知它的对应齐线性方程的基本解组为，。解：应用常数变易法，令将它代入方程，则可得决定和的两个方程：解得 由此 于是原方程的通解为其
12、中，为任意常数。例4 求方程于域上的所有解。解：对应的齐线性方程为容易直接积分求得它的基本解组。事实上，将方程改写为积分即得。所以，这里，为任意常数。易见有基本解组1，。为应用上面的结论，我们将方程改写为并以代入，可得决定和的两个方程及于是 故得原方程的通解为这里，为任意常数。根据定理7，它包括了方程的所有解。4.2 常系数线性方程的解法讨论常系数线性方程的解法时，需要涉及实变量的复值函数及复指数函数的问题，我们在4.2.1中预先给以介绍。4.2.1 复值函数与复值解如果对于区间中的每一实数，有复数与它对应，其中和是区间上定义的实函数，是虚数单位，我们就说在区间上给定了一个复值函数。如果实函数，当趋于时有极限，我们就称复值函数当趋于时有极限，并且定义如果，我们就称在连续。显然，在连续相当于、在连续。当在区间上每一点都连续时，就称在区间上连续。如果极限存在，就称在有导数（可微）。且记此极限为或者。显然在处有导数相当于、在处有导数，且
