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1、一阶逻辑等值式与置换规则1 设个体域D=a，,消去下列各式旳量词：(1) x(F（）(y)）() x(F（x)(y)（3) x（x)（)（4）(（x,）y()2 设个体域D=1,2,请给出两种不同旳解释I1和I2,使得下面公式在I1下都是真命题,而在I2下都是假命题。(1) x(F（x)G(x）() ()()）3 给定解释I如下：()个体域D=3,4。(b） （x)为（3)=4,(4)3。（c) (,y)为（3,3）(4,4)=0,(，4)=(,3）=1。试求下列公式在I下旳真值:(1) xy（x,y)(2） xyF(,)() xy(F(x,y)F（(x),f(y）)4 构造下面推理旳证明:（
2、)前提：x（(）（G（）R(x）),xF(）结论：x(F(x）R(x)(2） 前提:x(F(x)()）,xG(x）结论：xF(x)(） 前提:x(F(x）G(x)）,x(G（x)R（)）,x()结论：xF(x）5 证明下面推理：(1) 每个有理数都是实数,有旳有理数是整数，因此有旳实数是整数。(2) 有理数、无理数都是实数,虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不是无理数。（) 不存在能表达到分数旳无理数，有理数都能表达到分数,因此有理数都不是无理数。答案1.(1) (F(x）G(y)xF(x）yG(y)(F(a)F(b)F(c）)（G（)G（b)(c)（2） y(F(x)(y)xF()G(y
3、)(F(a)F(b)F()(G(a)G(b)G（c)（） xF(x）G(y)(F(a)F()F(c)(a)G()G（)(4) (F（x,y)yG(y）)F(x,)yG(y)(F(a,y)F(,y)(,）)(G（a)G()G(c)）(1)I1: F(x)：2,G(x）:x （1)，F(2),G(1）,G()均为真，因此(x)G（x) (1)G(1）（F(2）G（2)为真。2:（x）同I,（x):x0 则F(1),F（)均为真，而G(1),G(2)均为假, （F（x)G()为假。(2）留给读者自己做。3. (1）xyF(x,y)(F(3，3)F（3,4)(F(4,3)F（4,4）)（1）(0)(2
4、） xyF(x,）（F(，3）(3,4)(F（4,3)(4,4)()(10)0（3) x(F(x,y）F（f（x),f(y)）(F(3,3）(f(），f（)（,3)F（f(4），(3)）)(,4)F(),(4)（F(4，4）F(4)，（4)(00)(1)(1)(00)14.(1)证明： x(x)前提引入F(c)ES x(F（x）(G(a)(x）)前提引入 F（c)(G(a）(c）)US G(）R(c)假言推理 (c)化简 F(c)R（）合取x（()R（x)G（2)证明: x(x)前提引入 G(x）置换(c)US x（(x)G(x）)前提引入 F(c）(c)US F(c)析取三段论 xF(x)G
5、(3)证明: (F(）G（)前提引入F()G()U x(（)R(x)前提引入 (y)R(）S x（)前提引入 R(y)US G（)析取三段论 F()析取三段论 xF()5.(1) 设(x):x为有理数，R(x):x为实数，(x):x是整数。前提：（x)R(x)），x(F(x)G(x)）结论：x(R(x)G(x)证明： (F(x)G（)前提引入 F（c）G（c)ES F（c)化简 G()化简 x(x)(x)）前提引入 F()R（c）US(c)假言推理 R(c)G(c)合取 x(R(）(x)EG(2）设：F(x)：x为有理数，G(x):x为无理数，R（)为实数, H(x)为虚数前提：x(）G(x)(x),(H(x）R(x)结论:x(（x)（F(x)G()证明： (（x)G(）R(x)前提引入F(y)G()(y)U (（)()前提引入(y)（y）S R(y)(F(y)()置换 H(y）(F（y)G()假言三段论H(y)(F(y)(y）)置换 x(（x)(x)G（)UG（3) 设：F(x):x能表达到分数,(）:x为无理数,H(x）为有理数前提：x（G(x)(x),x(H(x)F(x）)结论：（x)(x）证明: x（(x)F(x）前提引入 ()F(y）US x（G(x)(x)前提引入 G(y)（)US F(y)(y)置换 H(）G(y)假言三段论 x(x)G（x）)U
