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1、美国赛 2012 年 A 题 “ TheLeavesofaTree题目大意怎样估计一棵树的叶子的重量？叶子如何分类？建立模型，对树叶描述和分 类，回答以下问题：（1）树叶为什么有不同的形状？（2）形状是否最小化相互的遮挡而最大化暴露（在阳光下）？树叶在数当 中的分布对其形状有影响吗？（3）树叶形状的基本特征对树的轮廓、枝干结构有什么影响？（4）怎样估计一棵树的叶子的重量？树叶质量与树的尺寸特征（由轮廓而 定义的高度、质量、体积）有相关性吗？末了，给科学杂志的编辑写一页信概述你们的关键的发现。优秀论文A Close Look at Leaves上海外国语大学附属中学Shanghai Foreig
2、n Language School的参赛队荣获特 等奖当中的INFORMS Outstanding （运筹与管理科学学会优秀奖）摘要建立四个模型研究：树叶的分类；树叶形状和分布的关系；叶的形状与树的 轮廓的相关性；树叶的总质量。模型一：树叶的分类。首先考虑叶的形状，引入七个几何特征量化叶的形状。 选择六种常见的树叶形状作为数据库。计算参数的偏离指标，给树叶分类。以枫 叶来检验。模型二：树叶形状和分布的关系。建立树的简化理想模型，引入太阳高度角 的概念，在不同的太阳高度角下，考虑叶子长度和节间长度，分析阴影的覆盖， 发现树叶形状和分布的确优化了阳光下的暴露。以三种树叶来检验。 模型三：叶的形状与
3、树的轮廓的相关性。利用叶脉与树的枝干结构之间的相似性， 提出叶的形状是树的轮廓的二维相似物（mimic）。运用模型一的方法，引入几个 参数，反映树的一般形状，并与叶加以比较。使用统计工具，给出叶的形状与树 的轮廓的粗略的联系。模型四：树叶的总质量。二氧化碳吸收率、年龄被用来估计树叶质量与树的 尺寸的联系。由于单位质量的树叶对二氧化碳的吸收率是常数，所以二氧化碳吸 收率是树龄的二次方关系，而树的尺寸经历逻辑斯蒂增长。引言与摘要类似，更简略）假设（1）只考虑生长环境开阔的树，不考虑挤在一起生长的树；（2）树叶的形状不反映树的特殊用途（抗风、耐热、耐寒、耐旱、耐涝、 食用）；（3）树叶分布的类型（树
4、叶长度、节间长度）反映树的自然趋光性；（4）树的轮廓是指地面上的包括树干、枝杈和叶子的部分；（5）一片树叶的所有部分都可以平铺，叶脉的厚度或突出忽略不计；（6）只有树叶才进行光合作用与呼吸作用，所以树对二氧化碳的吸收即树 叶对二氧化碳吸收的总和；（7）二氧化碳的净吸收量等于光合作用吸收量减去呼吸作用释放量；（8）树处于健康成熟稳定的状态；（9）同一种树具有同样的特征。模型一：树叶的分类（一）决定性的指标（描述定义，配图说明，指出区别，比较有效性）（1） 矩形率（Rectangularity, R）树叶的面积与包含树叶的最小矩形的面 积之比；（2） 方向率（Aspect Ratio, AR）包含
5、树叶的最小矩形的高度与宽度之比;（3） 环形率（Circularity, C）树叶的外接圆与内切圆的直径之比；（4）形状因子（Form Factor，FF）树叶的面积与周长平方之比的4兀倍；（5）边缘规则性面积指数（Edge Regularity Area Index，ERAI）树叶的面积与包围树叶的多边形的面积之比；（6）边缘规则性周长指数（Edge Regularity Perimeter Index， ERPI）包围树叶的多边形的周长与树叶的周长之比；（7）均衡指数（PI）将包含树叶的最小矩形沿纵向等分四份，各部分树叶 的面积占树叶的总面积的比例，由叶尖开始，依次为PI,PI ,PI ,
6、PI四个数。1234（二）树叶的一般类型选择北美六种典型的树叶，由图片测量计算出以上指标，列表，作为基础数 据库。（参考文献：Automatic Plant Leaf Classification for a Mobile Field Guide : An Android Application）（三）树叶比较分类模型的建立 给定一片待分类的树叶，测量以上七类共十个指标。 （1）用方差定义待分类树叶与某种典型树叶之间的比较值：I =工 w ID i ii=1其中I = （R-R ）2, I = （AR- AR ）2, I = （C-C ）2,1new 2new 3newI =（FF -FF ）
7、2, I =（ERAI-ERAI ）2, I =（ERPI-ERPI ）24new 5new 6new而I =-才（PI - PI）27 4jnew , jj=1权重W应该满足工W = 1，借用层次分析法来主观的决定权重，以体现七类指标 iii =1的重要性有所区别。经检验，计算权重的 AHP 模型符合 AHP 方法的诸要求。 （2）计算出待分类树叶与六种典型树叶之间的比较值之后，可判断：待分 类树叶属于最小比较值所对应的那一类。以枫叶为例做模型检验。（四）由模型一发现的问题 既然是典型的有已知样本的聚类分析问题，可以建立聚类模型来计算吗？AHP 的缺点是主观成分大，聚类模型应该更妥善。模型二
8、：叶子分布和叶子形状（一）构建理想模型（图 7） 树枝垂直于地面，仅有两片叶子水平横向的长在同一侧，叶面向上朝着 阳光； 树位于北半球，一年中平均太阳高度角记作a，即春分正午时分的。处于下方的叶片会有部分阴影，根据a对下方叶片的影响，分三种情况考察:（1）热带地区，a沁90热带地区的树叶子宽阔，树冠一般只有一层树叶。由图7，下方的叶片几乎 全部被遮挡，不利于光合作用。（2）寒带地区，a0寒带地区的树叶是针状的，一丛丛地密集生长，树冠有密密麻麻的多层树叶。 由图7，下方的叶片几乎没被遮挡，针状叶更利于光合作用。（ 3）温带地区 温带地区的典型情况是阳光倾斜的照射树叶，恰好是理想模型的常见情形。关
9、键的因素是两片树叶在树枝上的连结点之间的距离（记作h）。假设树叶的分 布要最小化树叶之间覆盖的面积，所以要用模型考察覆盖面积与树叶形状之间的 日方数量关系。将树叶简化为菱形，记长对角线的长度为L 。设树叶的面积恒为A,使major得暴露在阳光下的面积固定不变。要改变叶的形状，只需改变L（图8）。major 下方树叶被遮挡部分的最小比例是AE = ngA其中， A 是树叶被遮挡部分的最小面积。tan a，overlapping最佳情况是上下两片树叶都完全被阳光照射到（图9a），设h = L0 major则当h h时，0一般情况，当h h时，考虑到上面的叶子落在下面的叶子上的射影仍是相0L tan
10、 a - hmajorLtan amajor可见，如果固定A、h和a则h x L0 major h当L 时，遮挡的面积比例E随着L的增加而增加。major tan amajor结论：当h = Ltan a时，树叶的分布达到最佳状态。major（二）模型检验选择中国三种常见植物：女贞、桂花和山茶，测量 h 和 L ，算出 majorha二arctan，及纬度90 -a，与该植物实际分布的纬度范围对照，发现纬度L。major的理论值接近实际范围，从而肯定了假设和模型。（三）由模型二发现的问题模型二简化得很厉害，仅是二维模型。实际上，树枝是倾斜的，上下两片树叶一般会向两边错开，有没有可能建立三维的简
11、化模型？模型三：树的轮廓和叶的形状（一）假设叶脉决定叶的形状，枝杈决定树的轮廓，叶脉与枝杈相似，所以假设叶的形 状就是树的轮廓的二维复制品。焦点在于比较叶的形状与树的纵向切面。（二）树的轮廓的分类 在模型一，树叶已经分为六类，因为现在只考虑轮廓，所以合并第二类和第五类（不管树叶的边缘是光滑还是锯齿状）。结果得到五类树叶，以及对应的五 类树的轮廓： 第一类：心脏形（紫荆）； 第二类和第五类：椭圆形（樟树）； 第三类：锥形（松树）； 第四类：掌状（橡树）； 第六类：倒卵形（山胡桃树）。（三）树的指标选取R、AR和C三个指标，分别测量得到刚才的五大类的树纵向切面、树叶的指标值（表 7），画散点图，计
12、算相关性，考察线性拟合的统计显著性，发 现AR和C的线性关系显著，而R不显著。（四）结论：叶的形状就是树的轮廓的二维复制品（五）由模型三发现的问题 方法值得肯定，尚未详细研究，仅仅开头而已，缺少计算细节。选取指标的理由也缺失。事实上，树叶形状和树纵向切面的相似度比较有限，想象附会的程 度比较大。总之，模型三还需要改进。模型四：树叶的质量（一）模型建立 最简单的模型是：一片树叶的质量*树叶的数量=树叶总质量。但是有谁能数 算一棵树有多少片树叶呢？根据光合作用的原理，从树龄、生长率（F、M、S）、类型（H、C）三方面 估计树叶的质量。A ：每克树叶减排的二氧化碳（碳磅， lbs. carbon）；
13、Sm ：树减排的二氧化碳（碳磅， lbs. carbon）；CO2m ：树叶的总质量（克）。leavemm = CO2 leave A参考文献Method for Calculating Carbon Sequestration by Trees in Urban andSuburban Settings第89页表2的数据，用来拟合每年碳减排量（Annual CarbonSequestration Rates）和树龄之间的关系，得到二次函数关系，精确度极高。 树龄 A 和树的尺寸特征 P 之间可建立阻滞增长模型： P = k G 一 ek2a ）3 n A = k ln G 一 k Pk）1
14、4 5 最后，论文用图 11表示树叶总质量与树的尺寸特征之间的关系。（二）由模型四发现的问题：建模思路很有道理，一般来说，树叶总质量与碳减排量关系很密切，而树逐 年生长，树龄与尺寸特征、树龄与碳减排量都有密切关系。找得到数据来支撑， 很不容易。还需补充完善，有更充足的数据来计算出经验公式，并检验。评阅人意见一）数据树叶分类的数据很容易获得； 树叶总质量的数据很难获得。二）评阅原则 有以下问题的论文不能进入最后一轮 数学错误； 含有与思路不符的数学； （胡乱）更换符号； 不说明或未定义符号； 表达式不完整。三）建模的问题 本问题需要建立两种模型： 化繁为简树叶分类模型； 由抽象到具体树叶质量模型。
