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1、毕 业 论 文论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓 名：学科专业：指导教师：完成时间：摘 要常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。关键字 常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型目 录第一章 人口预测模型第二章 市场价格模型第三章 混合溶液的数学模型第四章 震动模型 绪 论当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制
2、手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本
3、文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。第一章 人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在人口原理一书中提出了闻名于世
4、的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.解 设时刻的人口为,把当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在到时间段内,人口的增长量为,并设时刻的人口为,于是 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为,此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样, ,于是 .这个公式非常准确地反映了
5、在17001961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的
6、人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而就越大）,并假设将增长率等于,即净增长率随着的增加而减小,当时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为上式就是逻辑模型,该方程
7、可分离变量,其解为,.下面,我们对模型作一简要分析.（1）当,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值；（2）当时,这说明是时间的单调递增函数；（3）由于,所以当时,单增；当时,单减,即人口增长率由增变减,在处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是不易确定,
8、事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,又当人口总数为时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ,即 ,从而得 ,即世界人口总数极限值近100亿.值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.第二章 市场价格模型对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,
9、那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型 解 假设在某一时刻,商品的价格为,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格的变化率与需求和供给之差成正比,并记为需求函数,为供给函数（为参数）,于是其中为商品在时刻的价格,为正常数.若设,则上式变为 其中均为正常数,其解为 .下面对所得结果进行讨论:（1）设为静态均衡价格 ,则其应满足 ,即 ,于是得
10、,从而价格函数可写为 ,令,取极限得 这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格,则动态价格就维持在均衡价格上,整个动态过程就化为静态过程；（2）由于 ,所以,当时,单调下降向靠拢；当时, ,单调增加向靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势.第三章 混合溶液的数学模型例4 设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/mi
11、n的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.解 设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内 容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量抽出的盐水中所含盐量 容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程,即.又因为时,容器内有盐kg,于是得该问题的数学模型为这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为 .下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:时刻容器内溶液的质量浓度为 ,且当时,即长时间
12、地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为 , =0时溶液的体积为,在d时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即,其中是流入溶液的质量浓度, 为时刻容器中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.第四章 振动模型振动是生活与工程中的常见
13、现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为的物体,试研究其振动规律.解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移及初始速度下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在时刻的位置坐标为,即时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为,为阻尼系数；（5）当质点有位移时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为,其中为劲度系数；（6）在振动过程中受外力的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得图4 , 这就是该物体的强迫振动方程.由于方程中, 的具体形式没有给出,所以,不能对式直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.1. 无阻尼自由振动 在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力作用.此时方程变为 , 令,方程变为 ,特征方程为 ,特征根为 ,通解为 ,或将其写为 其中 ,.
