《第二讲 函数的极限 复习资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二讲 函数的极限 复习资料.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 函数的极限（甲）内容要点一、极限的概念与基本性质1. 极限的定义 （要求用 语言描述） （1） （2） （3）（4） （5） （6）（用表示）用表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质。 2.极限的基本性质 （要求用定义证明）定理1（唯一性）设，則。定理2（保序性， 特别注意B0时的局部保号性） 设，定理3 （局部有界性）设，则当变化一定以后，有界的。定理4 设，则（1） （2）（3） （4）二、无穷小量1.无穷小量定义：若，则称为无穷小量2.无穷大量定义：任給，当变化一定以后，总有，则称为无穷大量，记。3.无穷小量与无穷大量的关系：在的同一个变化过程中，若
2、为无穷大量，则为无穷小量，若为无穷小量且，则为无穷大量。4.无穷小量与极限的关系 其中5.两个无穷小量的比较设，且(1)，称是比高阶的无穷小量，记以称是比低阶的无穷小量，(2) ，称与是同阶无穷小量。(3)，称与是等价无穷小量，记以6.常见的等价无穷小量 （当时） ， （为实常数）。【例1】当时,与等价的无穷小量是( B )(A) (B) (C) (D) 7.无穷小量的重要性质定理 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。（有限个无穷小量之和仍是无穷小量。）三、求极限的方法1. 利用极限的四则运算和幂指数运算法则2.（夹逼准则）设若，则（注：不能用函数子列收敛来证明收敛， 只能用子列发散证明发散）3.
3、两个重要公式公式1 公式2 ；【例1】求下列极限（1） （2）解（1）（2）解一解二【例2】求下列极限（1） （2）解（1）令则，当时，于是 （2）【例3】 = .4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换【例1】求.解用等价无穷小量代换原式【例2】求.解这个极限虽是“”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则.原式5. 使用变量代换的方法简化运算: a. 倒数 b. 变量-极限 【例1】求解若直接用“”型洛必达法则1，则得（不好办了，分母x的次数反而增加），为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令，于是 (“”型)6.用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）当时（为实
4、常数）【例1】求解（当时）原式7.洛必达法则法则1设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或） 则 （或）(注：如果不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量情形)法则2设（1），（2）变化过程中，皆存在（3）（或） 则（或）【例1】求.解 原式8.利用导数定义求极限基本公式：【例1】设，求.解原式9.求极限的反问题有关方法【例1】设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则 10. 含变上限积分的极限求法【例1】中国海洋大学 2010年 高数360 已知 ，求。解：令则故 。（乙）综合分析题【例1】求下列各极限（1） （2）解（1）解一原式解二原式 （错误！ 因为乘除才能代换）解三用洛必达法则1原式解四Taylor 公式原式（2）【例2】求解：【例3】求极限。解 【例4】求.解令， .【例5】求.解令， 【例6】求。解 当x=0时，原式=1当x0时，原式=【例7】设曲线与在原点相切，求.解由题设可知，于是【例8】求下列函数在分段点处的极限解【例9】设，求a和b.解把极限用洛必达法则原式左边，如果，则极限值为0，今极限为1，则因此原式左边由，得出a=4.（丙）真题演练 1.。2. 。3. 4. 5. 6. 7.
