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1、头验一 标量场和静电场的仿真分析实验目的：1、掌握标量场的梯度计算方法，理解梯度的物理意义；2、掌握点电荷产生的电场特性；3、熟悉多个极性不同的点电荷形成的点电荷系的电场特性;4、熟悉电偶极子的电场特性以及电力线和等位线的关系。实验原理：1，标量场：标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数就是标量场的梯度计算公式为汁予osu cosu coszr r rrcos ey rex coscos ez)rrey cos ez)u |u | u z1ex ey ez)(cosexxy zu ru r u r(exeyez) (cosxy z由此就可以计算出标量场的梯度2 .静电场：电位表
2、达式这就是等位面方程.在Matlab中可求解该方程并 用极坐标作图，即可得到电场的等位线图(也可画 出三维立体等位面图，如图4).电位求出后就可 得到球坐标系下电场E的表达式实验步骤：1、标量场的梯度和等位线仿真(1) 建立梯度的数学模型(2) 利用matlab软件进行仿真(3) 观察并分析仿真图中梯度和等位线之间的相互关系2、点电荷系的电位分布1）建立点电荷系电位的数学模型（2）利用 matlab 软件进行仿真（3）观察并分析仿真图中电位分布的特点3、电偶极子的场（1）建立电偶极子的电位和电场的数学模型（2）利用 matlab 软件进行仿真（3）观察并分析仿真图中电位线和电力线的特点和关系实
3、验报告要求：（ 1）抓仿真程序结果图（ 2）理论分析与讨论例1 求二维标量场 u（ r） = y 2 - x 的梯度。理解梯度的关键是：梯度是与等值面垂直的一个矢量。Matlab程序如下: x,y=meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); % 设定坐标 x, y的围 z=y.A2-x;px,py=gradie nt(z,.2,.2); con tour(z)hold onquiver(px,py)hold off%求梯度%绘制梯度图像/ Av、x z4681012 U 1615 2Dtitle（等值线与梯度）;%图像标题f 1.出.口 xiLJteirE订舍 Edi l iev L
4、n Er t 工 oolw Unit op昨 ml H IJfrf-P士 Gfi Q S n虱禺明運丨冒因 口等值钱与屛羡理论分析：由实验原理中梯度的概念和计算公式， 按照题目的要求就可以得到上 图所示的图形。根据图形分析可得到，场中每一点处的梯度垂直于过该点的等值 面，且指向函数增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法相矢量例2 (1) 2个等量同号点电荷组成的点电荷系的电势分布qi则:2x xi2y yiqi为了方便求解，令2y yics=co ntour(x,y,vplot);%画等势线clearv=1./(x-3).A2+y.A2).A0.5+1./(x+3).A2+y.A2).A0
5、.5;程xmax=10;ymax=10;n grid=30;xplot=li nspace(-xmax,xmax ,n grid);x,y=meshgrid(xplot);vplot=eval(v);explot,eyplot=gradie nt(-vplot);clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot);xlabel(x);ylabel(y);zlabel(电位);%读入电势计算方%乂轴的坐标最大值%y轴的坐标最大值%绘图区域、网格线设定%生成二维网格%执行输入的电势计算方程%计算电场强度%画含等势线的三维曲面subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax
6、-ymax ymax)%在等势线上编号%用箭头描述矢量场clabel(cs);hold on;quiver(x,y,explot,eyplot) xlabel(x);ylabel (y);hold off;分析：(1)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在无穷远处。电场线与 等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(2) 电势较高的等势线分别包围着电荷，电势较低等势线包围着两个电荷。 电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。(3) 当两个电荷的电量相等时，电场线和等势线对中垂线是对称的。(4) 根据左图所示，点电荷场强的分量&在电荷附近特别大。在点电荷附近 的右侧，&的方向沿x轴正向，在点电荷
7、附近的左侧，Ex的方向沿x轴负向,因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。(5) 根据左图所示，点电荷场强的分量 Ey 在电荷附近也特别大。在点电荷附近的前方，Ey的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，Ey的方向沿y轴负向, 因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。(2) 2 个等量异号点电荷组成的点电荷系的电势分布图clearv=1./(x-3).A2+y.A2).A0.5-1./(x+3).A2+y.A2).A0.5;% 读入电势计算方程xmax=10;%x轴的坐标最大值ymax=10;%y轴的坐标最大值 ngrid=30;% 绘图区域、网格线设定%生成二维网格%执行输入的电势计算方程
8、% 计算电场强度%画含等势线的三维曲面xplot=linspace(-xmax,xmax,ngrid);x,y=meshgrid(xplot);vplot=eval(v);explot,eyplot=gradient(-vplot);clf;subplot(1,2,1),meshc(vplot);xlabel(x);ylabel(y);zlabel( 电位 );subplot(1,2,2),axis(-xmax xmax -ymax ymax)cs=contour(x,y,vplot);%画等势线clabel(cs);hold on;%在等势线上编号quiver(x,y,explot,eypl
9、ot)%用箭头描述矢量场xlabel(x);ylabel (y);hold off;分析：(1)根据左图所示，点电荷场强的分量 B在电荷附近特别大。在点电荷附近的右侧，&的方向沿x轴正向，在点电荷附近的左侧，Ex的方向沿x轴 负向，因此在点电荷的右侧形成高峰，左侧形成深谷。(2)根据左图所示，点电荷场强的分量 &在电荷附近也特别大。在点电荷附近的前方，Ey的方向沿y轴正向，在点电荷附近的后方，Ey的方向沿y轴负向, 因此在点电荷的前方形成高峰，后方形成深谷。(3)如右图所示，电场线从正电荷出发，终止在负电荷。电场线与等势线垂直，任何两条电场线都不相交。(4) 电势较高的等势线分别包围着电荷，电
10、势较低等势线包围着两个电荷。电场强度大的地方，电场线较密，等势线也较密。（5当两个电荷的电量相等且异号时，电场线和等势线对中垂线是对称的例3 画电偶极子的等位线和电力线a=li nspace(0,2.*pi);for c=-2:0.4:2r仁 c.*cos(a)4(1./2);r2=c.*si n( a).A2;polar(a,r1,r);hold on;polar(a,r2,:) end title（电偶极子的等位线和电力线）分析：电偶极子的电位随着距离的平方反比变化，电场按距离的三次方反比衰减。由图形可以明显的知道，随着离电荷的距离越远，电偶极子比单个点电荷的电场 衰减的更快，这是因为在远
11、处正负电荷的相互抵消的缘故。 点偶极子的电场和电 位的另一个特点就是具有轴对称性，如上图所示。例4 电偶极子的场(等位线和梯度)clear;clf;q=2e-6;k=9e9;a=1.5;b=-1.5;x=-6:0.6:6;y=x;X,Y=meshgrid(x,y); % 设置坐标网格rp=sqrt(X-a).A2+(Y-b).A2);rm=sqrt(X+a).A2+(Y+b)42);%正电荷在 x=1.5;y=-1.5; 负电荷在x=-1.5;y=1.5 。V=q*k*(1./rp-1./rm);% 计算电位Ex,Ey=gradient(-V);%计算场强AE=sqrt(Ex.A2+Ey42)
12、;Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;%场强归一化，使箭头等长cv=linspace(min(min(V),max(max(V),49);%产生49个电位值contourf(X,Y,V,cv,k-)%用黑实线画等位线%axis(square) % 在 Notebook 中，此指令不用title( 电偶极子的场 ),hold onquiver(X,Y,Ex,Ey,0.7)%第五输入宗量 0.7，使场强箭头长短适中plot(a,b,wo,a,b,w+)%用白线画正电荷位置plot(-a,-b,wo,-a,-b,w-)%用白线画负电荷位置xlabel(x);ylabel(y),hold offFigure I分析：电偶极子的电场和电位的一个特点就是具有轴对称性，如上图所示。由图形可以知道，电偶极子产生的场与它的电场梯度是相互垂直的。 场中每一点处的 梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数增大的方向，也就是说，梯度就是该等 值面的法相矢量
