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1、(完整版)习题解答_现控理论_第5章51 判定下列二次型函数的定号性.（1) (2） (3) （4) 解:(1) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为对实对称矩阵P作合同变换如下因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的.（2） 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为对实对称矩阵P作合同变换如下因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定的.(3） 对实对称矩阵P作合同变换如下因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定的。（4） 由于故该函数V（x）为正定函数。52 确定下列二次型函数中的待定系数的取值范围,从而使其成为正定的。（1） （2) 解:(1） 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为对实对称
2、矩阵P作合同变换如下因此该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为a5。 (2) 本题二次型函数对应的对称权矩阵P为根据赛尔维斯特准则知，由于因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定的条件为53 判定下列矩阵的正定性。（1) （2) 解 (1) 对实对称矩阵P作合同变换如下因此，当2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为正定；当=2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定；当2该二次型函数及对应的对称权矩阵P为不定. （2） 对实对称矩阵P作合同变换如下因此，该二次型函数及对应的对称权矩阵P为半正定.5-4 设有二阶非线性系统为（1) 求出所有的平衡态;(2) 求出各平衡态处的线性化状态方
3、程,并用李雅普诺夫第一法判断是否为渐近稳定.解 (1） 对本题，平衡态为代数方程组的解，即下述状态空间中的状态为其孤立平衡态(2) 由线性化方法，各平衡态处的线性化状态方程的系统矩阵A为线性化系统的特征多项式为s2+s+（1）k，因此，只有平衡态为渐近稳定的，而平衡态为不稳定的.5-5 设系统的运动方程式为试确定其渐近稳定的条件。解：令，则状态方程为原点是唯一的平衡态,初选则有当,.则在原点平衡态的这个邻域范围内,系统是稳定的.进一步，由于对所有非零状态轨迹不能恒为零,因此该平衡态为渐近稳定的。5-6 试选择适当的李雅普诺夫函数,并利用该函数判定下列非线性系统的稳定性。（1） (2) (3)
4、解：(1） 显然,原点是给定系统的惟一平衡态，如果选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x（t)，V(x）对时间的全导数是半负定函数，并且由于对所有非零初始状态出发的状态轨迹非恒为零，因此,该原点平衡态是渐近稳定的。（2） 显然,原点是给定系统的平衡态。下面仅讨论原点平衡态的稳定性问题，其它平衡态可类似地进行分析.如果选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t)，V（x）对时间的全导数在原点的一个充分小的邻域内,高阶项，因此为负定，故系统原点处的平衡态渐近稳定。(3) 原点为系统的平衡态，选李氏函数为：则 为半正定，原点平衡态为稳定的。更进一步，由于在原点的充分小的邻域内，当 时
5、，但此时,故和都不能保持恒定为零.因此,原点平衡态为渐近稳定的。57 设系统的状态方程为 试求其V函数，并在和时,分析平衡点处的系统稳定性。解 ） 设选择正定函数为李雅普诺夫函数，那么沿任意轨迹x(t）,V（x)对时间的全导数因此,当，是负定函数,该原点平衡态是渐近稳定的;当，是正定函数，该原点平衡态是不稳定的;当，恒为0，该原点平衡态是稳定的，但非渐近稳定的.58 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常系统的稳定性.（1） （2) 解 (1) 设选取的李雅普诺夫函数，其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程，可得解出p11、p12和p22,得经检验，对称矩阵P不为正定矩阵,因此该线性系统不是渐近稳
6、定的。(2) 设选取的李雅普诺夫函数,其中P为对称矩阵。将P代入李雅普诺夫方程，可得解出p11、p12和p22，得经检验，对称矩阵P为正定矩阵，因此该线性系统是渐近稳定的。5-9 线性时变系统的状态方程为。 分析系统在平衡点处的稳定性如何?并求函数。解：原点是系统的一个平衡态，由其中 解矩阵得 。 根据根据赛尔维斯特准则有：该系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。其李雅普诺夫函数为 .510 用李雅普诺夫方法判定下列线性定常离散系统的稳定性.(1） （2） (3) 解 （1） 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:求解上述方程,解出p11、p12和p22,得经检验对称矩阵P为正定的，因此，系统为大
7、范围渐近稳定的。 (2) 设P为对称矩阵，由李雅普诺夫代数方程:求解上述方程，解出P,得经检验对称矩阵P不为正定的，因此，系统非渐近稳定的。 （3） 由李雅普诺夫代数方程,有解出矩阵 为使为正定矩阵,根据根据赛尔维斯特准则,其充要条件是即 ，可保证系统在原点处是大范围渐近稳定。511 用克拉索夫斯基法判别下述非线性系统的稳定性。解 由于f（x)连续可导且可取作李雅普诺夫函数,因此,有由矩阵函数负定，所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡态xe=0是渐近稳定的.5-12 用克拉索夫斯基法确定下述系统为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。解 由于f(x)连续可导且因此当b0时，正定;当b=0时,只要a-1,正定。此时，上述可取作李雅普诺夫函数，因此,有因此矩阵函数负定的条件为a0, 。所以综上所述,由克拉索夫斯基定理可知，平衡态xe=0是渐近稳定的条件为：b0，a0， .或b=0，a1513 用变量梯度法构成下述非线性系统的李雅普诺夫函数,并判别稳定性。参见5。4。2小节的例题17
