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1、正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin
2、 Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)
3、(2)(3)(4)(5)2.(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A. B. C.2 D.3解析由余弦定理，得5b2222b2，解得b3，故选D.答案D3.(2017郑州预测)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos B()A. B. C. D.解析由正弦定理知1，即tan B，由B(0，)，所以B，所以cos Bcos，故选B.答案B4.在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C.2 D.2解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos
4、603，所以BC.答案B5.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定(2)(2016天津卷)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A.1 B.2 C.3 D.4(3)(2015广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
5、，若a，sin B，C，则b_.解析(1)bsin A，bsin Aab.满足条件的三角形有2个.(2)在ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c.则由c2a2b22abcos C，得139b23b，即b23b40，解得b1，因此AC1.(3)因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC0，sin A1，即A.答案B【迁移探究1】 将本例条件变为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(A
6、B)0，因为AB0)，由余弦定理可得cos C0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形.答案C【迁移探究3】 将本例条件变为“若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，试确定ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos A
7、sin B，sin(AB)0，又A与B均为ABC的内角，所以AB.又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，ABC为等边三角形.考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C； (2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.由C(0，)知sin C0，可得cos C，所以C.(2)由已
8、知，absin C，又C，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.【训练2】 (2017日照模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2ab)cos Cccos B0.(1)求角C的值；(2)若三边a，b，c满足ab13，c7，求ABC的面积.解(1)根据正弦定理，(2ab)cos Cccos B0可化为(2sin Asin B)cos Csin Ccos B0.整理得2sin Acos Csin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A.0A，sin A0，cos C.又0C，C.
9、(2)由(1)知cos C，又ab13，c7，由余弦定理得c2a2b22abcos C(ab)23ab1693ab49，解得ab40.SABCabsin C40sin10.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017哈尔滨模拟)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C()A.30 B.45 C.60 D.75解析法一SABCABACsin A，即1sin A，sin A1，由A(0，180)，A90，C60.故选C.法二由正弦定理，得，即，sin C，又C(0，180)，C60或C120.当C120时，A30，SABC(舍去).而当C60时，A90，SABC，符合条
10、件，故C60.故选C.答案C2.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B等于()A. B.C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得，sin Bsin A.A，B.答案D3.(2017成都诊断)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形.答案B4.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos 2Acos 2B”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
