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1、立体几何中的截面问题a例3：己知Ag斤分别是四梭柱加i阳込的梳金沏1和上的点，且站与血不平行，求悴过这三点的蔵面.作法：连接妒并延长交加延长线于点几（刃在平面磁P内连接刃交妙于点也（引連接炉磁则四边形円卿即为所求再例空如图五棱毎P-磁PE中#三条侧榛上各有一已知点F、仏执求作过尺G、才的截面.作法：將侧面風PBC.磁伸展得到三梭锥卩砧7：（刃在侧面P跖肉,逢结并延长加.交於于尤5（3）奁侧茴越r内，连结并延长胡交刃于匚怪側面丹7内.连结血井别交加，FE予氐M连结啟曲卿五边形拠V即为所求的截面例幺已知宜四棱柱勺，严在面込宓1内，G在面AlADDl内.彳在棱现上,画出过只0、丘三点的嚴面。件法：过
2、尸件胪丄皿于点只过Q作QQ丄初于0在底面個加内连接炉“SQ,井交于笊由平行块QQ、肱作平面的附连接Q乩在平面阳翩内过甘作酬丄面血交?于乱曲平行践厅.曲j作平ftiPPAAV则矗必落在茴彤血内茁往面PPAAy内,连接肚（乃在面码内,连接昭并延长交倒于B在面巩必勺内连接朋并延长交cc于冗仗）连接冊；眺则塞边形溯厂即为所求“M曲8：在憫械和高的夹肃为/的正四棱雄中，求作一个过底面顶点且与这点折对侧梭垂直的裁面（45fl人作法：在平面朋（7中，作AELSC于点&在底面ABCD内过占作sWo诣）延长儘创分别交应于点MM（4）连接啟酬分别交现、a于点伉底茁）连接久AH.则多边形创沏即为所求.,娄型配载丽经
3、过的三个己知点两两不在同一简内的棱上.例鮎只a丘三点分别在直四橫柱必的植尙九和曲上试画出过只欧代三点的截面JV【注】如果石在平）rii4G内时、任平面4G内作GPgq辅助平bPOCB分割出直WiLPB-DDC又回创塁本题盘.在求得4匚2两点后*易得戳価ERFKH若E征棱4占匕尺G分別住不经过棱貝&的两亍丽（扶棱的两个面或柑对的两个if心内,则作截面的步骤，仍是先乍一个适当的辅助平曲；归结为基本题型W13：FtVI作内.G崔平血耳耳内，求过EFg的哉面解：如先作辅WjPifiiRQPT.得到也五棱柱RQCJ).-ATPCD.连接EF井延长左P0附址长线子按培本世哉方法悴出amikhls制门：EF
4、分別在正方沐的檢鸥CG上.G雀正方钵的内部.求过EFG的截血解：过G作G耳丄平浙曲I并魁长交V&iA.CK.ft=辅助fifiiB.PQB连接EG井延长交PQVRr连接E在平面4耳内过7?作石王F,连接花和尸S,.则所求戡面为肚只$【忌结】；若己知两点在同一平面内只要连接这两点，就可以得到戴面与多面体的一个面的截线若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点若两个已知点分别崔相邻的面上，应找出遠两个平面的空线与截面的交点” 若两平行乎面中一个平面与截面有交城，另一个面上只有一个已蝴点，则按平行平面与第三平而相变那么它们的交线互相平行的性质I可得截面与平面的交线， 若有一点在面上而
5、不在棱上”则可通过作辅助平面转牝为棱上的点的问题；若己铀点在体内.则可通过辅助平面便它转化为面上的点，再转化为棱上的点的问题来解决PLR心吩両32而心吩市轴截1仏拓$的【佰积为S=Rtan-(7?-frcotd)(Rtan3h)=2Rhh截而CDD.C,的血积为Sh=呻=丄(一尸sina一丄(?)-sina=如(丄EL2cosj?2匚備&sill6sill2AVAB和厶VCDqiajr-23(1)时，T-2II*|ailIMiQR=QDDR=QD+-(AC-AD)=-d-c-d)=-e32由理面尸0尺交线段bcr-s.则冠.冗页捷1-13(6于是彷任唯一的翌数人尸使得PSAPO+pGR记瓦=斗
6、竟则PS=PB+BS=-b+-l)=(-x)bxc33丄.所以3二2工彳.卩二，工工+于SS=y5C,所W5线段眈匕的靠近点酌五答仆上岩例2山釦亂吸梭合的上下.直也仰积分别为&9.行尸直曲的就向珀qq%分烏血的囁吟截罰积样*氐2)14-(1证明：lA1：AN丄月与爲,交于”我一販一“=小=座些坐亠AEWW-HHQ例21若台粋的侧面积核平行1廉面的截面自上而下分成増：甘,则藏而面积S。=巴土竺tH+H证明：以正棱台沖例，5=耳7C0$S()I-WHi+N若台体的体积被和亍底而的霰靳自上而下分硯川:“则假廊面积绻满足5/二再f+打22=过G方休的讨角线丘q的戢廚面积対5比和红分别为卫的馆犬值和址小
7、倩，求辻的值1iniei解；设JA丁分别为朋、比的中范易证戡丽戊血丁是边绘为总的菱形（世方怵棱圧设为积九二当niliiMi嘶b魁世畝其hi魏二忑B二个而的刖点恰为月匸耳二边的中点-例睥，如图.已疝球&是棱长沟丄的正方怵-迪皿亠同G0的内圻球*则平而丸站此球0的醸而新积为一孵；平脑且生是边长再J亍的止三角形J1球与以点Q为公其点:/1故刖求裁曲的曲积吧该小二用形的内切鬪的丽积，则曲圏得*厶4马内切関的半卷足faii30=则所廉的儼而圏的面积虽乳（史尸匸已2666J26：在棱长为1时正方体I轧有两球外切并且更分别与正方体内切当球的半轻为秦少时两球的祁积Z和最小？斛；球休与正方协内切从正方休附对用面
8、就収，Mira初过球心的对曲rttAA=1申G=忑、ziCj=V，设两劭半轮分別対阳则荷且q=希厂。严应%F所以说十厂十二据=左+广=三士ID农1M上Ci设爾球的体ftU和为卩=2丁（卍+刊=：7?仏种）（R+rf制U範长方滋有一孑公如顶点F的三更轅上分刖各取异尸的点得剑一个戟fliAJr.求证：MFU为锐轴三和花AE=1yADAEPJ理厶二込二疔=芒66.6佰哦为芈才密，跻的弧林条在平面4目G马上”交缚为FG.LA1为半径为-訂曲的长为孚亠丰厂FPi这粉孤也有煤故所得晖怅为趴譽“：4芳疗例29：已密球的半径为2,相互亟也的两卜平新分别黴球窟韓两个恻.若两側的公共弦长为2,则两圆的関心距馨于(
9、)A.1E.72:爲D,2解析；q与0：的公氏弦为AE.球心为0.AB中点为C,则四边廉0.&0X为矩瑚”Iqa同OQI.-|o且I二丄ACKAC丄gA|OC|=|2-|JC|2=7D卜例:H:如Bh正方体ASCD-C的棱长为XF为肌的中点*Q为线段QG上的动点.遗点A.P.QK平面耀该正方傩所得的截面记为第则下列命题正确的暹.s为四边形当C皆孰s为輾梯形炎7(：设截面4SQD相交于PQ1L4T=2PQDT=2CQ.对则XDTcL所以戡血汹四边畛且S为梯欣所以対克.2对”当CQ=丄QT=1:T与D重合，截iffis为四边形APQD.所加F=DQiii面S为等膘梯形.所以为真.对当Q0二2=0二
10、丄.M二E.JV二土利用三角旳相似解得芒屆二丄.真.44223对，CQinL-DT2.段人D,DC相交r所以四妙形5为五边42陌所以为假.对当$)=咐，Q与G重合截面$与线段再耳相交于中虑G即为菱形APC.G.A对竞线找度分别为运用IJ5M的ifii积人虽所以为真.2齣3厶且ECD-A/CM正方偽任作旳衍虫与对角线AC便得虫与正方阵的每个丽都有公兵点记这样得到时戯丽宰边形的画稅沏乞周扶为匚！1A.宮曲定值，/不为龙佶乩5不泊定fit7为定值D.S卜畀均不为定值c.S与1均为楚值無:将正方体切去两个正三棱錐川-RBD与DEC后，行到一个以平行V-iBD与DfB(C为匕下底面的几傅体舊的每个例面鄒
11、是等腰直角三角J釦越面多边飛痕毎一条边分別与V的底繭上的-嗓边行.将丫的侧商沿披疋援剪开*展T咆孤产面上+得到一卜平钉四边S九而多边砸取的周界展开后便诚为一象与f平行的线段如蹈中EE，鹹然卫4二E&,故d为运價*寿F位于2中点时，多边形丹为正巩边形，而当移至N处时.冒为正三角形2436扇知周底为定值f的正六边形与正三角形面积分别为岁厂与竺F,故$不为定值ra4C2)/!例35:如图4,往透明的测料剧成的博方体丽CDJMM容器内淆谨一些水.13库容器底面边BC于地新上,再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同.有下列四个命题；其中圧确的命题庠号足_ 术的部分始獎星棱柱状： 水ffiEFGH的面积不改雯; 陵扎D】始终与水丽FFMTf行： 囁客器倾斜狗如圏也2时I抚BF是起慣；解：当长方桃弈器绕比辿转动时.战水部分的几何体始典满足陵柱定义.般正确；在转动过程冲EHFG，但凸与FG的距离EF拦变.所以水帀iEF剧的I何积征仮变，故错课：征转渤过程中.始终有班FG虽山，所収加狂ifiEFGH.匸测当容器转动到水部分呈强三棱社时如闕3S因沟二EEEF，BU是宦憤.乂BC杲能船所以BE*BF足走値，即正确円
