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1、湖南省师大附中2020届高三数学上学期月考试题（一）理（含解析）时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数zxyi，其中x，y是实数，i是虚数单位，若xi，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由已知，y(1i)(xi)x1(1x)i，则yx1，且1x0，即x1，y2.所以xyi12i，所对应的点(1，2)位于第四象限，选D.2已知向量a与b的夹角是，且|a|1，|b|4，若(3ab)a，则实数的值为(B)A. B C. D【解析】由已知
2、，(3ab)a0，即3a2ba0，所以320，即，选B.3下列说法中正确的是(C)A若样本数据x1，x2，xn的平均数为5，则样本数据2x11，2x21，2xn1的平均数为10B用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，则这批零件不合格D对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A，若x1，x2，xn的平均数为5，则2
3、x11，2x21，2xn1的平均数为25111，所以说法错误；对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11555人若该班学生人数为60，则样本间隔为60512，所以说法错误对于C，因为4，0.5，则(u3，u3)(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误选C.4已知(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)A84 B84 C24 D24【解析】由已知，2n128，得n7，所以Tr1C(2
4、x2)7r(1)r27rCx143r.令143r1，得r5，所以展开式中含项的系数为(1)5275C84，选A.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b0，则下列结论正确的是(A)Af(b)0，且f(a)f(c)0 Bf(b)0，且f(a)f(c)0Cf(b)0，且f(a)f(c)0 Df(b)0，且f(a)f(c)0【解析】由已知，f(b)f(0)0.因为ac2b0，则ac，从而f(a)f(c)f(c)，即f(a)f(c)0，选A.6设x为区间2，2内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为(C)A. B. C
5、. D.【解析】因为当x2，0时，y2x；当x(0，2时，y2x1(1，5所以当y时，x1，1，其区间长度为2，所求的概率P，选C.7已知函数f(x)sin 2x2sin2x1，给出下列四个结论：(B)函数f(x)的最小正周期是2；函数f(x)在区间上是减函数；函数f(x)的图象关于直线x对称；函数f(x)的图象可由函数ysin 2x的图象向左平移个单位得到其中正确结论的个数是A1 B2 C3 D4【解析】f(x)sin 2xcos 2xsin.因为2，则f(x)的最小正周期T，结论错误当x时，2x，则f(x)在区间上是减函数，结论正确因为f为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x对称，
6、结论正确设g(x)sin 2x，则gsin 2sincos 2xf(x)，结论错误，选B.8.已知命题p：若a2且b2，则abab；命题q：x0，使(x1)2x1，则下列命题中为真命题的是(A)Apq B(綈p)q Cp(綈q) D(綈p)(綈q)【解析】若a2且b2，则且，得1，即0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M满足|MF1|2|MO|2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)A6 B3 C. D.【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|MF2|，则A为OF2的中点，所以|AF2|，|AF1|.设|MF2|m，则|MF1|2m.在RtMAF1中，
7、|MA|24m2c2.在RtMAF2中，|MA|2m2，则4m2c2m2，即3m22c2.因为|MF1|MF2|2a，则m2a，所以3(2a)22c2，即c26a2，所以e，选C.12对于给定的正整数n，设集合Xn1，2，3，n，AXn，且A记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)(D)A2 01822 0181 B2 01822 0171 C2 01722 0171 D2 01722 0181【解析】对于集合Xn，满足I(A)1的集合A只有1个，即1；满足I(A)2的集合A有2个，即2，1，2；满足I(A)3的集合A
8、有4个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足I(A)n的集合A有2n1个，所以S(n)122322n2n1.由错位相减法，得S(n)(n1)2n1，所以S(2 018)2 01722 0181，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知cos，则sin_【解析】sinsincos 22cos21.14如图，在ABC中，P是线段BD上一点，若m，则实数m的值为_【解析】因为，则4，所以m.因为B，P，D三点共线，则m1，所以m.15已知函数f(x)|2x1|a，若存在实数x1，x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)1，则a的取值范围是_(1，2)_【解析】令f(x)1，
9、则|2x1|a1.据题意，直线ya1与函数y|2x1|的图象两个不同的交点，由图可知，0a11，即1a2.16设数列an的前n项和为Sn，已知a11，且Sn4an(nN*)，则数列an的通项公式是an_【解析】当n2时，anSnSn1an1an，则anan1，即，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则，即an.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB4，AD2，BAD60，BCD120.(1)若BC2，求CBD的大
10、小；(2)设BCD的面积为S，求S的取值范围【解析】(1)在ABD中，因为AB4，AD2，BAD60，则BD2AB2AD22ABADcosBAD16424212，所以BD2.(3分)在BCD中，因为BCD120，BC2，BD2，由，得sinCDB，则CDB45.(5分)所以CBD60CDB15.(6分)(2)设CBD，则CDB60.在BCD中，因为4，则BC4sin(60)(8分)所以SBDBCsinCBD4sin(60)sin 4sin 3sin 22sin23sin 2(1cos 2)3sin 2cos 22sin(230).(11分)因为060，则30230150，sin(230)1，所
11、以0S.故S的取值范围是(0，(12分)18(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，AB2，AC4，BAC120，D为BC的中点(1)求证：ADPB；(2)若二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得BC2416224cos 12028，则BC2.因为D为BC的中点，则BDCD.(2分)因为()，则2()2(222)(416224cos 120)3，所以AD.(4分)因为AB2AD2437BD2，则ABAD.(5分)因为PA底面ABC，则PAAD，所以AD平面PAB，从而ADPB.(6分)(2)解法一：因为AD平面PAB，过点A作AEPB，垂足为E，连结DE.则DEPB，所以AED为二面角APBC的平面角(8分)在RtDAE中，由已知，AED45，则AEAD.(9分)在RtPAB中，设PAa，则PB.(10分)因为ABAPPBAE，则2a，即4a23(4a2)，解得a212，所以PAa2.(11分)所以VPABCSABCPA24sin 12024.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设PAa，则点B(2，0，0)，D(0，0)，P(0，0，a)所以(2，0)，(2，0，a)
