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1、关于罗巨格公式的证明。（1） 关于函数的零点和极点的定理。设在围道内除有限个极点外是解析的,是在内的零点,在上，又是内及上的解析函数，则 (1)其中和分别是零点和极点的阶;积分是沿的正向一周(逆时针）.证明按柯西（Cauch）定理 （2）和分别表示积分路线是正向饶点和点一周的围道，每一个这样的围道内只含有一个零点或极点。在的邻域内 ,因此 由于在的邻域内是解析的，且，故只要围道够小，在其中也是解析的，含它的项对(2）式中积分的贡献为零。因此,按残数定理有 （3）同样,在在的邻域内 ，因此 由于在的邻域内是解析的,且,故只要围道够小,在其中也是解析的，含它的项对()式中积分的贡献为零。因此,按残
2、数定理有 （4)把（3）和（4)的结果代入(）中，即得（1)。令,得（1) 式的一个重要特殊情形: (5）其中是在内的零点个数，是在内的极点个数;重零点和重极点须按阶数计算其个数.如果和在围道上及内无奇点,则而有 （6）（2） 拉格朗日定理设和在围道上及内是解析的,为内一点。如果对于上的点,参数满足 （7)则（)方程 (8)在内有一根而且只有一根；当时此根趋于。(i）函数可以依的幂展开为 (9）这公式称为拉格朗日展开公式。先证明(i).应用公式（6）于函数 ，注意条件（),得在内的零点的个数 由于 因为所以即在内有而且只有一个根。再来证明(i)。设是方程（)在内的唯一根，用公式（1)有 但另一方面因为所以 因此有（9）式.例 设,则方程，即的根为取围道：内只有其中一个根。当时，。于是，按拉格朗日定理,令,得 两边对求微商,得展开式 上式的左边是勒让德函数的生成函数：即得罗巨格公式 （10)文中如有不足，请您指教！ /
