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1、 2.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计 2.2.1 双曲线及其标准方程 教学设计教学目标：（1）理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程. （2）通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生观察问题、探究问题、归纳问题的能力. （3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶.教学重点：理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程.教学难点：双曲线标准方程的推导与化简.教学方法：启发式与探究式相结合.教学过程与操作设计：（一） 创设情景，引入课题1、知识回顾问题1：椭圆的定义是什么？问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之
2、和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？也就是：平面内与两定点、距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是什么图形？ 【设计意图】通过一个知识冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧知识的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思考，激发他们的求知欲望2、观察动画、动手作图取出生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过观察，引导学生思考拉链拉开的两部分长度的内在联系通过播放这个拉链的演示实验，让学生观察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线最后教师给出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺利引入课题【设计意图】通过观察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际
3、变化这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培养了学生观察、归纳能力 （二） 探究发现，挖掘新知1、定义的归纳（1）提出问题1：这条曲线上的点满足的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满足的条件提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满足的条件根据讨论总结出：1、（1）|MF1|-|MF2|=|F2F|= 2a (2) |MF2|-|MF1|=|F1F|= 2a 2、| |MF1|-|MF2| | = 2a 2a是定值, 2a |F1F2|. 通过以上分析，由学生归纳双曲线定义【设计意图】通过自主探究，体会双曲线任一点所满足的条件，提高学生分析问题、归纳问题的能力（2）通过椭圆和双曲线的
4、定义的学习,知道它们是满足一定条件的点的轨迹,让学生发现两个定义的区别.教师总结学习定义的作用,可以用来判断曲线的形状【设计意图】 通过师生、生生的交流合作，使学生理解双曲线定义学会利用定义判断曲线形状2、标准方程的推导 （1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟悉的热电厂冷却塔和广州新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定位法和创建的双曲线型交通结构. 【设计意图】 这些图片使学生感受到数学美，体会数学的实用性，对双曲线进一步形成清晰的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，
5、请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答教师给予点评）【设计意图】进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.【问题解决】建 系 以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.设点 设双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 (),常数列 式 即化 简 得 两边同除以得 令()代人得 其中这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上. 讨论：以上是焦点在轴上的情况，对于焦点在轴上的情形是什么样的呢？【设计意图】在第四步化简过程中，由于学生已经学习过椭圆标准方程的化简，学生根据
6、两方程形式的相似性，学生很容易使用同样的方法化简.因此，将本式子的化简作为一个研究性题目，交由各小组讨论，在课堂上展示本题后，通过教师巡视，请化简较好的小组派代表在黑板上书写，顺利突破难点此环节使学生经历双曲线标准方程的获得过程，体验数形结合思想在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精神和科学的态度3、方程的对比 推导出双曲线的两种标准方程后，让学生通过找出他们的相同点、不同点，自己探究出根据标准方程判断焦点位置的方法，同时回忆椭圆中的判断方法，起到复习对比作用(三)题组训练、应用新知练习1、判断下列方程哪些表示双曲线？ （1） （2） （3） （4） 练习2、方程 是否表示双曲线？ 【设
7、计意图】第一题让学生学会利用方程判断曲线的形状和求焦点坐标，第二题让学生深化利用双曲线标准方程判断焦点位置的方法.【例题讲解】例1 已知两定点为，求动点M到F1、F2的距离的差的绝对值等于6的轨迹方程. 变式1、若已知F1 (0，-5)，F2(0，5) .2、例1改求“动点M到F1、F2的距离的差等于6的轨迹方程”.【设计意图】本例题是书本例题的改动，既考察了定义的理解，又考察了待定系数法求曲线方程.变式训练1、通过定点位置的变化引起方程形式的变化，强化两种方程形式的区别与联系.变式训练2、让学生深刻体会双曲线定义中关键词“绝对值”的必要性，体会数学的理性和严谨.（四）畅谈收获、感悟新知知识小结：找学生填表格总结本节课学习的双曲线的定义及其标准方程.通过本节课的学习除了知识方面的学习,还有哪些其他方面的收获?【设计意图】通过学生畅谈收获，学生不仅有知识技能方面的，还有情感价值观等多方面的收获，提高学生的自我认知能力. （五） 课后拓展、巩固提高 基础作业：1、课本第54页习题A组第1、2题能力作业：2、已知双曲线 的左右焦点分别是F1、F2 ,点P在双曲线的右支上，且满足 .求 , . 【设计意图】 分层次作业可以满足不同学习阶段学生的学习需求.板书设计：2.2.1 双曲线及其标准方程一、 双曲线的定义 例1二、 双曲线的标准方程 练习 焦点在x轴上 焦点在y轴上
