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1、3.1 随机电压信号在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数、和，k为任意整数；（2）的平稳性。解：(1) (2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。3.2 已知随机信号和相互独立且各自平稳，证明新的随机信号也是平稳的。解： 与各自平稳，设=，=， ，为常数仅与有关，故也是平稳过程。3.3 随机信号，为确定常数，在上均匀分布的随机变量。若通过平方律器件，得到，试求： （1）的均值； （2）的相关函数； （3）的广义平稳性。解：(1)仅与有关，且均值为常数，故是平稳过程。 3.4 给定随机过程，其中是常数，和是两个任意
2、的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为。证明是广义平稳而不是严格平稳的。证明：由于均值是常数，且相关函数只与有关，故是广义平稳过程。3.5 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值和相关函数，试求： （1），； （2），； （3）。 解：3.6 两个统计独立的平稳随机过程和，其均值都为0，自相关函数分别为，试求：（1）的自相关函数；（2）的自相关函数；（3）互相关函数。解：3.7 广义平稳随机过程的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：C=3.8 对于两个零均值广义平稳随机过程和，已知，问下述函数可否
3、作为自相关函数，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 （6）； （7）。解：根据平稳随机信号相关函数的性质，(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否， (4) 否，在原点不是非负 (5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是3.9 已知随机过程和独立且各自平稳，自相关函数为与。令随机过程，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与和相互独立。求过程的均值、方差和自相关函数。解： 3.10 平稳信号X(t)的功率谱密度为（1）（2）求它们的自相关函数和均方值。解：(1) (2) 根据傅立叶变换的对称性，有: 3.11 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确
4、表达式？为什么？（1） （2） （3） （4） （5） （6） 3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。(1)是。(2)是。(3)不是，时值为负数。(4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。(5)是。(6)不是，因为它不是偶函数。3.12 是平稳随机过程，证明过程的功率谱是解：3.13 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为 求互谱密度与。解：3.14 设随机过程,式中是一组实常数。而随机过程为平稳的和彼此正交的。试证明：解：3.15 假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在时刻以后出现的第一个零值时刻是均匀分布的随机变量。试
5、说明的一阶密度函数为题图解：3.16 讨论乘法调制信号：，其中， X(t)是实广义平稳信号，是确定量，相位在-,+均匀分布，与X(t)统计独立。试讨论Y(t)的广义平稳性。=解：调制器输出信号的均值为相关函数为Y(t)是广义平稳的。3.17 讨论例3.3中乘法调制器的输入与输出信号的互相关函数与联合平稳性。解：由例3.3，互相关函数为因此，输入与输出信号是联合广义平稳的，并且正交。3.18 工程应用中平稳信号的自相关函数为试估计其均值、均方值和方差。解：信号X(t)通常被视为两个平稳信号U(t)与V(t)的和，U(t)与V(t)的自相关函数分别为与。U(t)是X(t)的非周期分量，可得=V(t
6、)是周期分量，可认为此分量的均值。于是， 所以，的均值为10、均方值为300、方差为200。3.19 已知随机信号的功率谱为，求自相关函数与均方值。解：首先进行分解，3.20 均方值为。正弦信号的功率谱。解：由相关函数为， 可见它是正的实偶函数，信号的功率全部集中在频率处。3.21 讨论（加性）单频干扰：受到加性的独立正弦分量的干扰（是在上均匀分布），得到随机信号。求，。解：首先，对于， 正交性使得交叉项为零。3.22 方差为的高斯白序列。试求：（1）相关函数与协方差函数；（2）n维密度函数。解：首先，作为高斯白噪声，也是同分布的独立信号。于是，3.23 讨论随机相位正弦信号的广义平稳条件。：
7、变量A的均值为，方差为，的特征函数为，与X(t)统计独立。解：计算均值与自相关函数。首先当且仅当时，（常数）。当且仅当时， 上式0， 随机相位的正弦信号广义平稳的充要条件是：。 此时，1）；2）。比如当时，。3.24 讨论乘法调制信号的功率谱。：，X(t)为实广义平稳随机信号，功率谱，与X(t)统计独立。解：例3.3已说明是广义平稳的，并且， 可见，调制使得信号的频谱平移到处3.25 讨论随机二元（二进制）传输信号。,对应的概率为：，也可以表示为：常用于传输二进制数据信息，接收信号为初始时刻“随机滑动”的二元传输信号，记为，D与统计独立，并服从均匀分布。经过随机抖动后，将是平稳的。解：分析均值：分析相关函数：1）假定，兩时刻上独立2）假定，则独立的概率为，不独立的概率为3）假定，相仿。于是，功率谱： 注意： ，而注意该信号的直流成份，主瓣带宽（Hz）。F正是数据率。通过傅里叶变换可得，从的功率谱中可以清楚地看到单频干扰成份。
