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1、福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查（2月）数学（文）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可得，故2. 某人到甲、乙两市各7个小区调査空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调査中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的众数之差为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】由茎叶图可以看出甲乙两市的空置房的套数的中位数分别是，因此其差是，应选答案B。3. 已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部
2、为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知：，所以虚部为4. 在锐角中，角所对的边长分别为，则角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得：5. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则此人第4天走了（ ）A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里【答案】D【解析】试题分析：由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列，设等
3、比数列的首项为，则有，所以此人第天和第天共走了里，故选C.考点：1、阅读能力及建模能力；2、等比数列的通项及求和公式.6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】已知函数，若，则，由函数为增函数，故：，故选C7. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）A. 7 B. 9 C. 11 D. 13【答案】C【解析】第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，第五次：，此时不满足条件，所以输出k=118. 已知某简单几何体的三视图如图所示，若主视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图该几何体为一三棱锥A
4、-BCD：，BC=2,CD=2,因为正视图的面积为1，故正视图的高为1，由此可计算BD=为最长棱长，故选C9. 函数的图象向右平移动个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数的图象向右平移动个单位得到：图象关于轴对称，即函数为偶函数，故，所以的最小值为 10. 若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由渐近线是得，的两根是1，5，由选项知，则开口向上，得，有由时，可知，则，所以，故选D。 11. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为1，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 B.
5、 C. 3 D. 【答案】D点睛：两直线平行斜率相等（当斜率都存在时），然后熟悉两平行之间的距离公式即可12. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛：根据题意特别注意条件，通常这个条件是在提示我们需要构建函数，然后根据问题形式即可得出所构建的函数，然后分析函数单调性即零点得出结论第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知满足，则的最大值为_【答案】【解析】根据题意作出可行域：目标函数则可以理解为可行域中的点与的斜率的最大值，由图可知最大斜率为：14. 已知向量，且，则等于_【答案】【解析】
6、由得：，再由，联立方程组解得为15. 已知点是抛物线上一点，为抛物线的焦点，则以为圆心，为半径的圆被直线截得的弦长为 _【答案】【解析】如图所示：根据抛物线性质可得：MF=MQ=4=2+得，所以M到x=-1的距离为3，根据直线与圆的弦长公式可得：该弦长为16. 正方体的外接球的表面积为，为球心，为的中点.点在该正方体的表面上运动，则使的点所构成的轨迹的周长等于_【答案】【解析】如图所示：，因为正方体的外接球表面积为，所以球的半径为，设正方体的边长为a,所以，取的中点为H,的中点为G，设E在面的摄影为P，过P作与面AHGD平行的面，则使的点所构成的轨迹为矩形，其周长等于AHGD的周长，故答案为点
7、睛：本题属于较难题，要作出符合条件的轨迹图形然后求解，即作出与线CF垂直面且包含E点的平面是解本题的关键三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列满足,前7项和为.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析：（）由，得因为所以（）18. 三棱锥中，侧面底面,是等腰直角三角形的斜边，且.（1）求证：；（2）已知平面平面，平面平面，且到平面的距
8、离相等，试确定直线及点的位置（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据面面垂直可得线面垂直，故在内作，交于，连结，则由侧面底面， 得底面，然后证得O为中点即可得从而得证；（2）根据面面平行的性质可得，由到平面的距离相等可得/平面或中点在平面上，又 平面,平面平面 /或中点在上,或为平行四边形,即. 所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为2的点即为点)其中.解析：（）法一:在内作，交于，连结， 则由侧面底面， 得底面又， ， ， 为等腰直角三角形，又=,
9、即法二:取中点，连结,由侧面底面得,由已知, ，又=,即（）法一:平面平面,平面平面,平面平面 到平面的距离相等 /平面或中点在平面上又 平面,平面平面 /或中点在上,或为平行四边形,即.所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为2的点即为点)其中法二: 到平面的距离相等 平面平面，平面平面，平面平面 /或中点在上,或为平行四边形,即.所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点(或在l上到A距离为2的点即为点)19. 有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，
10、已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为“桔柚直径与所在基地有关”？（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（3）记甲基地直径在范围内的五个桔柚分别为，现从中任取二个，求含桔柚的概率.附：，.【答案】(1) 有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关;(2)80;(3) .【解析】试题分析：（1）先写出列联表，然后根据公式代入数值求解对照表格下结论
11、即可；（2）平均数计算公式为：；（3）根据古典概型的概率求法将基本时间一一列出，再得出符合条件的基本事件，求比值即可得概率解析：（）由以上统计数据填写列联表如下：甲基地乙基地合计优质品420390810非优质品80110190合计5005001000所以,有95%的把握认为：“桔柚直径与所在基地有关” （）甲基地桔柚的优质品率为，乙基地桔柚的优质品率为，所以，甲基地桔柚的优质品率较高，甲基地的500个桔柚直径的样本平均数 （）依题意：记“从甲基地直径在的五个桔柚A,B,C,D,E中任取二个，含桔柚A”为事件N.实验包含的所有基本事件：（A,B）,（A,C），（A，D），（A，E），（B，C），
12、（B，D），（B，E）,（C, D），（C，E），（D，E）共10种.事件N包含的结果有：（A, B）,（A, C），（A，D），（A，E）共4种.所求事件的概率为： 20. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，且，试求点到直线的距离.【答案】(1) ;(2) 原点到直线的距离.【解析】试题分析：（1）根据等式关系可得，求出c值，然后结合椭圆定义和已知等式关系联立方程即可得a，进而求出标准方程；（2）先验证斜率不存在时情况，然后再讨论斜率存在时，由得: ，故设，得，连立方程得出韦达定理代入等式得k，n的关系，在计算距离即可得出结论.解析
13、：（）由得:，化简得：，解得：或因为，所以，因为 所以，则，又，所以椭圆的标准方程为：；（）由题意可知，直线不过原点，设，直线轴，直线的方程且，则 由得: ,即，解得：，故直线的方程为，原点到直线的距离，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，消去整理得：，则=由得, 故+，整理得：，即 原点到直线的距离，将代入，则，综上可知：原点到直线的距离点睛：熟悉椭圆的性质和定义是解第一问的关键，解答第二问的关键在于要将转化为, ，进而打开思路连立方程求解.21. 已知函数，其中.（1）试讨论函数的单调性及最值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；（2） 【解析】试题分析：（
14、1）讨论函数单调性，先明确函数定义域然后求导解不等式即可，当然要注意参数的讨论对导函数符号判断的影响；（2）函数不存在零点，即函数的最大值恒小于零或者函数的最小值恒大于零，故先求出的最值然后解不等式即可.（）由 得： 当时, 在单调递增，没有最大值，也没有最小值若，当时, , 在单调递增当时， , 在单调递减，所以当时，取到最大值没有最小值（） 由 当 时, , 单调递增，当时， ,单调递减，所以当时 ，取到最大值, 又 时， 有 ，所以要使没有零点，只需 所以实数的取值范围是： 点睛：分析函数单调性是历来导数的一个重点，务必引起重视，同时要学会讨论完整，主要是明确参数对导函数的符号的影响，函数无零点可根据函数图像得条件，也可以分析函数最值，当函数的最大值恒小于零，最小值恒大于零时也可做到函数无零点，具
