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1、2007年天河区高二数学竞赛试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1右图是年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A， B， C， D， 2把数列依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），在第100个括号内各数之和为（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （A）1992 （B）19
2、90 （C）1873 （D）1891 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3.动点P为椭圆上异于椭圆顶点的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）（A）一条直线 （B） 双曲线的右支 （C） 抛物线 （D） 椭圆 4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为BD1的中点，则PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。）5某单位要在甲、乙、丙、丁人中安排人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）其中甲、乙两人
3、都被安排的概率是_ _ _ _ _.6、已知向量 _.ABCDPA1B1C1D17.已知，则的值是_.8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCDA1B1C1D1中，BAD=60，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动.则MN中点P的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_ _. 9. 已知,关于的方程,则这个方程有相异实根的个数情况是_.10已知点P为椭圆在第一象限部分上的点，则的最大值等于 三、解答题：（本大题共5小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（本题满分18分）如图，已知三棱锥PABC，ACB=90，CB
4、=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且PDB是正三角形，PAPC（I）求证：平面；（II）求证：平面PAC平面ABC；（）若M为PB的中点，求三棱锥MBCD的体积12. （本小题满分18分）已知函数的定义域为，值域为 5，1 ，求常数a、b的值 月份用水量(m3)水费(元)199215193223313. （本小题满分18分）某市对居民生活用水的收费方法是：水费=基本用水费+超额用水费+定额水损耗费.若每月用水量不超过限量am3时，只收取基本用水费8元和每户每月的定额水损耗费c元；若用水量超过am3时，除了要收取同上的基本用水费和定额水损耗费外，超过部分每m3还要收取b元的超额用水
5、费.已知每户每月的定额水损耗费不超过5元.右表是该市一个家庭在第一季度的用水量和支付费用情况。 根据上表中的数据，求出a，b，c的值.14（本小题满分18分）设的极小值为,其导函数的图像经过点,如图所示,（1）求的解析式；（2）若对都有恒成立，求实数的取值范围15、（本小题满分18分）如图，将圆分成个扇形区域，用3种不同颜色给每一个扇形区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为。求（）；（）与的关系式；（）数列的通项公式，并证明。2007年天河区高二数学竞赛答题卷1.C 2.A 3A 4.A4提示：如图画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知 F1G=F1E，PD=PE
6、，F2D=F2G， 根据椭圆的定义知 PF1+PF2=2a， PF1+PF2=F1E+DF2 (PD=PE)=F1G+F2D (F1G=F1E)= F1G+F2G=2a， 2F2G=2a2c，F2G=ac， 即点G与点A重合， 点M在x轴上的射影是长轴端点A，M点的轨迹是垂直于x 轴的一条直线（除去A点）5解：安排情况如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙共有种安排方法甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，甲、乙两人都被安排（记为事件）的概率： 612007.【答案】.提示：弦切变换,构造齐次式解题. .8. 9.【答案】0或2或3或4.
7、提示：令，利用数形结合知：当时，方程无实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有3个实数根；当时，方程有4个实数根。10 2 11.（1）【证明】PAB中， D为AB中点，M为PB中点，DM平面，PA平面，平面 4分（2）【证明】D是AB的中点，PDB是正三角形，AB=20， 5分 PAB是直角三角形，且APPB，6分又APPC， AP平面PBC 8分APBC 10分又ACBC， APAC=A，BC平面PAC12分平面PAC平面ABC14分（3）【解】由（1）知，由（2）知PA平面PBC， DM平面PBC15分正三角形PDB中易求得， 16分 17分18分12.解： ， .4分 ， ， 当a
8、 0时，b f ( x ) 3a + b， 解得 .12分当a 0时，3a + b f ( x ) b 解得 故a、b的值为 或 18分13.解：设该家庭每月用水量xm3，支付的水费为y元，8+c(0xa)8+b(x-a)+c.(xa)则y 3分由题设，知0c5，8+c13. 4分由表知，第二、三月份的水费均超过13元，故其用水量15m3、22m3都应超过限量am3.8+b(15-a)+c19，8+b(22-a)+c33.把x15，x22分别代入，可得 8分两式相减，得7b14，b2.(1分) 10分从而2ac+19.(1分)下面分析一月份该户的用水量是否超过限量：若超过了限量则9a，将x9代
9、入，可得2ac+17,这与矛盾.a9，即一月用水未超过限量.从而一月份付款方式应力，8+c9 c1. 16分a10.故a10，b2，c1. 18分14解：（1），且的图像经过点,， （3分），由图像可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， （5分） ，解得 （7分） （9分）（2）要使对都有恒成立，只需即可 （12分）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且， （15分）故所求的实数的取值范围为 （18分）15、解：（） 当时，不同的染色方法种数 ，1分当时，不同的染色方法种数 ，2分当时，不同的染色方法种数 ，3分当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数 。4分（）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种8分（） 将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，13分从而。14分（）证明：当时，当时， ，当时， ，故18分w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m
