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1、提升综合素养（二） 平面向量1.如图所示，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.abB.abC.ab D.ab解析：选C连接BP，则b，a.由，得2ab.又QB()，将代入，得2ab，解得ab.2已知向量a(m,1)，b(m2,2)若存在R，使得a0，则m ()A0 B2C0或2 D0或2解析：选Ca(m,1)，b(m2,2)，ab0，(mm2,12)(0,0)，即故选C.3已知向量(3，4)，(6，3)，(2m，m1)若，则实数m的值为 ()A. BC D3解析：选D(3,1)，由，得3(m1)2m，解得m3，故选D.4在ABC中，()|2，则AB
2、C的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C由()|2，得()0，即()0，20，A90.故选C.5已知向量a，b的夹角为120，|a|b|1，c与ab同向，则|ac|的最小值为 ()A1 B.C. D.解析：选D|a|b|1，c与ab同向，a与c的夹角为60.又|ac|，故|ac|min.6已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin B1，向量p(a，b)，q(1,2)若pq，则C的大小为 ()A. B.C. D.解析：选B由sin B1，得B，所以在ABC中，cos C.又由p(a，b)，q(1,2)，pq，得2ab0，a，故co
3、s C，所以C.7对于向量a，b，当且仅当_时，有|ab|a|b|.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|ab|a|b|，所以只有两向量共线且同向时，才有|ab|a|b|.答案：a与b同向8设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，则向量a在b方向上的射影为_解析：依题意得|e1|e2|1，且e1e2，|b|2，所以向量a在b方向上的射影为|a|cosa，b.答案：9已知向量a(2,5)，b，且a(a2b)，则y_.解析：由题意，知a 2b，因为a(a2b)，所以55(52y)0，解得y3.答案：310已知点A(1,2)，B(2,8)及，求点C
4、，D和的坐标解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)由题意可得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，(x11，y12)(3,6)(1,2)，(1x2,2y2)(3，6)(1,2)则有解得C，D的坐标分别为(0,4)和(2,0)，因此(2，4)11.如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点证明：设a，b，则ab，ba.由于与共线，因此存在实数m，使得m(ab)又与共线，因此存在实数n，使得n n.由n，得m(ab)an，整理得(mn1)ab0.由于向量a，b不共线，所以有解得所以.同理A，所以，所以ARRTTC，所以R，T为AC的三等分点12已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)(1)若ab，求的值；(2)若|2ab|m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)ab，cos sin 0，得tan .又，.(2)2ab(2cos ，2sin 1)，|2ab|2(2cos )2(2sin 1)28888sin.又，.sin.|2ab|2的最大值为16.|2ab|的最大值为4.又|2ab|4.，即实数m的取值范围为(4，)- 1 -
