小学奥数专题-几何计数(三).教师版

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1、2 7-8-3. 几何计数（三）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容 斥原理的计数思想知识要点一、几何计数在几何图形中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面 所成的区域数等等这类问题看起来似乎没有什么规律可循 ,但是通过认真分析 , 还是可以找到一些处理方法 的 常 用 的 方 法 有 枚 举 法 、 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 法 以 及 递 推 法 等 n 条 直 线 最 多 将

2、 平 面 分 成12 +2 +3 + +n = ( n +n +2) 个部分；n 个圆最多分平面的部分数为 n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成23n(n-1)+2 部分；n 个四边形将平面最多分成 4n(n-1)+2 部分在其它计数问题中,也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等解题时需要仔细审题、综 合所学知识点逐步求解排列问题不仅与参加排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后 顺序无关,只与这两个组合中的元素有关二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有 n+1 个点(包括两个端点)（或含有 n 个“基本线段”）,那么这 n+1 个点把这

3、条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条数角：数角与数线段相似,线段图形中的点类似于角图形中的边数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法）,因为 DE 上有 15 条线段,每条线段的两 端点与点 A 相连,可构成一个三角形,共有 15 个三角形,同样一边在 BC 上的三角形也有 15 个,所以图中共有 30 个三角形ADEBC数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形）,若其横边上共有 n 条线段,纵 边上共有 m 条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn 个例题精讲模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图

4、形,那么一共用了_块小正方体。7-8-3.几何计数（三）.题库教师版page 1 of 10【考点】立体图形几何计数 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,初试,6 题,走美杯,4 年级,决赛,第 8 题【解析】 一共有： 43 -(1+4+9)=50（块）。【答案】 50 块【例 2】 将 32 个相同的小正方体拼成一个体积为 32 立方厘米的长方体,将表面涂上红漆,然后分开 ,其中有 2 个面涂红的小正方体有 24 个,则有 1 个面涂红的小正方体有 个。【考点】立体图形几何计数 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,4 年级,第 7 题【解析】 32 =25 ,

5、 所以这个长方体的尺寸只有 1 132 , 1 2 16 , 1 4 8 , 2 2 8 , 2 4 4 五种情况 ,其中只有 尺寸为 2 2 8 的长方体的表面染色后 ,有 24 个正方体有 2 个面涂红,所以有1 个面涂红的小正方体有 0 个。【答案】 0【例 3】 如图是一个由 27 个棱长为 1 的白色小正方体木块粘成的棱长为 3 的正方体木块,现任意挖去其中的 3 个棱长为 1 的小正方体,然后将所有暴露在外的表面全部刷上蓝漆,那么余下的 24 个棱长为 1 的小 正方体中恰好有 3 面涂蓝漆的最多能有_个.【考点】立体图形几何计数 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】学而思杯,5

6、 年级,第 12 题【解析】 1）角块本身为 3 面暴露在外的小方块；2）挖去外侧面中部的小方块,能够增加 4 块三面暴露在外的小方块,加上角块,共形成 8 块 3 面涂漆的 小方块,为最优方案3）因此挖去对称的 2 块外侧中部的小方块后,将产生 16 块 3 面暴露在外的小方块4）然后再挖去任意一个外侧面中部的小方块,将增加 3 块 3 面暴露在外的小方块,但同时破坏原来 的 2 块 3 面在外的小方块.5）所以最多有 17 块 3 面涂漆的小方块【答案】17模块二、几何计数的应用【例 4】 如图,每个小正方形的面积都是 l 平方厘米。则在此图中最多可以画出_个面积是 2 平方 厘米的格点正

7、方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,4 年级,1 试【解析】 每两行正方形可确定 3 个面积是 2 平方厘米的格点正方形,总共有:33=9(个) 【答案】 9【巩固】 图中的每个小方格都是面积为 1 的正方形,面积为 2 的矩形有个。【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,二试,第 8 题【解析】 44+35=31【答案】 31 个7-8-3.几何计数（三）.题库教师版page 2 of 10【巩固】 下图是由 25 个面积等于 1 的小正方形组成的大正方形,图中面积是 6 的长方形

8、有个。【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,四年级,二试,第 4 题【解析】 每两行正方形可确定 3 个面积是 2 平方厘米的格点正方形,总共有: 3 4 2 =24 (个)【答案】 24 个【例 5】 如图所示,在边长为 1 的小正方形组成的 44 方格图中,共有 25 个格点。在以格点为顶点的直角三 角形中,两条直角边长分别是 1 和 3 的直角三角形共有 个。【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】华杯赛,决赛,第 2 题【解析】 我 们把一排连续三个正方形叫做三连正方形 ,三连正方形的个数乘上每个三连正方形中直角三角形 的个数就得到

9、所求的总数：422464 （个）【答案】 64【例 6】 用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵(如右图)如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来 就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【解析】 面积等于 1 平方厘米的三角形有 32 个 面积等于 2 平方厘米的三角形有 8 个 (1)面积等于 1 平方厘米的分类统计如下： 底为 2,高为 1 底为 2,高为 1 底为 1,高为 232=6(个) 32=6(个) 32=6(个) 底为 1,高为 2底为 2,高为 1底为 1,高为 232=6(个) 22

10、=4(个) 22=4(个) 所以,面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个) (2)面积等于 2 平方厘米的分类统计如下：32=6(个) 12=2(个)所以,面积等于 2 平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)7-8-3.几何计数（三）.题库教师版page 3 of 10【例 7】 下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形,它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个）,以其中 不在一条直线上的 3 个点为顶点,可以构成三角形在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的 有多少个？【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 1显然应先求出阴

11、影三角形的面积设原正方形的边长是 3,则小正方形的边长是 1,阴影三角形的面积是23=32思考图中怎样的三角形的面积等于 3（1）一边长 2,这边上的高是 3 的三角形的面积等于 3（即形如图中阴影三角形）这时,长为 2 的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有 244=32（个）；（2）一边长 3,这边上的高是 2 的三角形的面积等于 3 这时,长为 3 的边是原正方形的一边或平 行于一边的分割线这样的三角形有 82=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复,所以这样的 三角形共有 32+16=48（个）【答案】 48 个【巩固】 图中每个小正方形的边长都是 l 厘米,则在图中最多可以画出

12、面积是 3 平方厘米的格点三角形(顶点在 图中交叉点上的三角形)_个。【考点】几何计数的应用 【难度】3 星 【题型】填空【关键词】希望杯,五年级,一试,第 11 题【解析】 由三角形面积为 3 平方厘米,可知三角形的底高为 6,6=16=23,因为图形中长方形的长为 3 厘米,宽 为 2 厘米。当三角形的底=3 厘米时,有 42=8 种情况,；当底=2 厘米时,有 12=2 种情况。所以,一共 有 8+2=10 个。【答案】 10 个【例 8】 在一个圆周上有 8 个点 ,正好把圆周八等分 ,以这些点为顶点作三角形,可以作出 个等腰三 角形【考点】几何计数的应用 【难度】4 星 【题型】解答

13、【解析】 由于 8 个点正好把圆周八等分,所以以其中的任何 3 个点作为顶点都不能组成等边三角形那么任意 选取其中的一个点作为顶点,一个顶点上有三个不同的等腰三角形,圆周上有 8 个顶点,所以一共有 3 8 =24 个等腰三角形,而且这些等腰三角形互不相同(否则,假设其中有两个等腰三角形相同,这两个 等腰三角形不可能是同一个顶点,只能是不同的顶点,这样这个等腰三角形必定是正三角形,与前面的 分析不合),所以可以作出 24 个等腰三角形【答案】 24 个等腰三角形【例 9】 圆周上十个点,任意两点之间连接一条弦,这些弦在圆内有多少个交点？【考点】几何计数的应用 【难度】4 星 【题型】解答【解析

14、】 圆周上 4 点构成一个四边形,四边形两条对角线相交可以产生一个交点问题转化为“圆周上 10 个点 可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识,去掉重复的部分,可知有：10 9 8 7 (4321)=210个所以交点有 210 个【答案】 210 个【例 10】 圆周上有 8 个点,两点所连的线段叫 “弦”,每两点连一条弦 ,各弦无公共端点 ,共可连四条弦 ,各弦互不 相交的连法共有_种【考点】几何计数与找规律 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 本题可以利用归纳的方法解决若圆周上只有 2 个点,只有 1 种连法；7-8-3.几何计数（三）.题库教师版page 4 of 10若圆周上只有 4 个点,先选中 1 个点,它可以与相邻的两个点相连,它连好后其它两点只有 1 种连法,所 以此时有 1 2 =2 种连法；若圆周上只有 6 个点,先选中 1 个点,此时它可以与相邻的 2 个点相连,也可以相对的 1 个点相连,若与 相邻的点相连,剩下的 4 个点有 2 种连法；若与相对的点相连,剩下的 4 个点只有 1 种连法,所以此时 有 2 2 +1 =5 种连法；若圆周上只有 8 个点,先选中一个点,此时它可以与相邻的 2 个点相连,也可以与与它相隔 2 个点的另外 两个点相连若与相邻的点