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1、第四章 根轨迹法在时域分析法中已知控制系统的闭环特征根决定该控制系统的性能。那么，是否对于每一个控制系统都必须求出其闭环特征根，才能够了解其性能呢？如果答案是肯定的，那么当特征多项式是三阶及以上时，求解特征根是一项比较复杂的工作。特别是要分析系统特征式中某一参数（比如K*）变化时对系统性能的影响，这种准确求解每一个特征根的工作将会变得十分困难。 W.R.Evans提出了一种描述特征方程中某一参数与该方程特征根之间对应关系的图解法，比较方便的解决了上述问题。这种方法就是本章要介绍的根轨迹法。第一节 根轨迹的基本概念一、根轨迹的定义系统参数（如开环增益K*）由零增加到时，闭环特征根在s平面移动的轨
2、迹称为该系统的闭环根轨迹。例4-1 单位反馈控制系统如图4-1，绘制K*变化时，系统极点的变化情况。K*s(0.5s+1) U(s) Y(s) _ 图4-1 反馈控制系统的方块图特征方程 特征根 讨论当时，时，时，时，绘出特征根的变化轨迹如图4-2 j 0-1-2 图4-2 例4-1的根轨迹图显然，当时，系统取得二不相等实数根（过阻尼）； 时，系统取得二相等实数根（临界阻尼）； 时，系统取得一对共轭复数根（欠阻尼）。越大，共轭复数根离对称轴（实轴）越远指定一个值，就可以在根轨迹上找到对应的二个特征根，指定根轨迹上任意一特征根的位置，就可以求出该特征根对应的值和其余特征根。下面我们讨论根轨迹的一
3、般情况。二、根轨迹方程既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。设系统开环传递函数为 （4-1）其中，称为根轨迹增益；是开环零点；是开环极点。则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为即 （4-2）显然，满足上式的即是系统的闭环特征根。当从0变化到时，n个特征根将随之变化出n 条轨迹。这n条轨迹就是系统的闭环根轨迹（简称根轨迹）。由式(4-2)确定的根轨迹方程可以分解成相角方程和幅值方程 = (4-3) (4-4)几点说明：1 开环零点zi、极点pj是决定闭环根轨迹的条件。2 注意到式(4-3)定义的相角方程不含有，它表明满足式(4-4)的任意值均满足由相角
4、方程定义的根轨迹，因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件。3 满足相角方程的闭环极点值，代入幅值方程式(4-4)，就可以求出对应的值，显然一个对应n个值，满足幅值方程的值不一定满足相角方程。因此由幅值方程（及其变化式）求出的值不一定是根轨迹上的根。4 任意特征方程均可处理成的形式，其中把写成式(4-4)描述的形式就可以得到值，所以说可以是系统任意参数。以其它参数为自变量作出的根轨迹称广义根轨迹。例如：系统的特征方程为以其中不含T的各项除方程的两边，得 该方程可进一步改写成 其中，相当于根轨迹增益。第二节 绘制根轨迹的规则和方法一、绘制根轨迹图的规则和方法绘制控制系统根轨迹的一般规则和方法
5、如下： 根据给定控制系统的特征方程，按照基本规则求系统的等效开环传递函数,并将其写成零、极点的规范形式（如式(4-1)所示），以此作为绘制根轨迹的依据； 找出s平面上所有满足相角条件式(4-3)的点，将它们连接起来即为系统的根轨迹； 根据需要，可用幅值条件式(4-4)确定根轨迹上某些点的开环根轨迹增益值。绘制根轨迹的方法一般有：解析法、计算机绘制法以及试探法。解析法计算量较大；计算机绘制法有“通用程序包”可供使用，试探法（或试凑法）是手工绘制的常用方法。 分析研究相角条件和幅值条件，可以找出控制系统根轨迹的一些基本特性。将这些特性归纳为若干绘图规则，应用“绘图规则”可快速且较准确地绘制出系统的
6、根轨迹，特别是对于高阶系统，其优越性更加明显。绘图规则是各种绘制根轨迹方法的重要依据，下面就将其主要内容介绍如下： 1. 概略绘制根轨迹图的规则表4-1列出了概略绘制根轨迹的基本规则（假定系统的开环传递函数由式(4-1)确定）。表4-1 概略绘制根轨迹的基本规则序号内 容法 则1根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于开环极点数或开环零点数2根轨迹的对称性根轨迹连续且对称于实轴3根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点（包括无限远极点），终止于开环零点（包括无限远零点）。4实轴上的根轨迹实轴上有根轨迹的区段为右侧的开环实极点与开环实零点数目之和为奇数。5根轨迹的走向当时，闭环极点之和等于开环极点之和，且
7、与无关。若一些根轨迹分支向左移动，则另一些分支必向右移动。规则的结论显然可由式(4-2)得出。规则的结论亦可由式(4-2)得出，复平面上的每一个根（对）均对称于实轴。规则的结论仍可由式(4-2)得出，起点对应，显然只有时满足（或时，称为有个无穷远极点），终点对应，只有时满足（或时称为有个无穷远零点）。规则可由相角方程式(4-3)得出，注意到式(4-3)是设（若，则式(4-3)右侧应为偶数倍）。规则5证明：设si为系统的任一个闭环特征根，则闭环特征方程可表示为 （4-5）用开环传递函数表示闭环特征方程可得： （4-6）比较两式的系数，当时，式(4-5)中的第二项系数 （4-7）式(4-7)中不包
8、含，在开环极点已知时，这是一个不变的常数。所以当增加时，若某些闭环特征根在s平面向左移动，则另一部分根必向右移动。 2. 较为准确地绘制根轨迹图的规则根据表4-1给出的五条规则，可以概略绘制出一些简单系统的根轨迹图。表4-2给出了一些典型的图形。图中用， 分别代表开环系统的极点和零点。若要更加准确地绘制根轨迹，如下几条规则是必要的。规则6根轨迹的渐近线如果开环零点数m小于开环极点数n，则系统的开环增益时，趋向无穷远处的根轨迹共有（n-m）条，这（n-m）条根轨迹趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。 渐近线与实轴交点坐标 （4-8）而渐近线与实轴正方向的夹角 （4-9）式中k依次取一直到获得（n-
9、m）个倾角为止。 因为时，有（n-m）条根轨迹趋于无穷远处，即。根据式(4-2)，则有所以 无穷远处闭环极点的方向角，也就是渐近线的方向角。的证明从略。表4-2 开环极点、零点及其相应的根轨迹 规则7根轨迹与虚轴的交点根轨迹可能和虚轴相交，交点的坐标及相应的值可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得。根轨迹和虚轴交点相应于系统处于临界稳定状态。此时增益称为临界根轨迹增益。例4-2 设开环传递函数为 求根轨迹与虚轴的交点，并计算临界根轨迹增益。解：闭环系统的特征方程为 即 令代入特征方程，得 上式分解为实部和虚部，并分别为零，即 解得，相应。时，为根轨迹的起点
10、，时，根轨迹和虚轴相交，交点的坐标为。为临界根轨迹增益。 也可以用劳斯判据确定根轨迹和虚轴的交点及相应的值。列出劳斯阵为 当劳斯阵行等于0时，特征方程可能出现共轭虚根，令行等于0，则得共轭虚根值可由行的辅助方程求得即 规则8根轨迹的出射角和入射角 从开环极点出发的根轨迹，其出射角为 （4-10）其中为开环零点和除开环极点以外的其它开环极点引向该极点的向量幅角之净值； 根轨迹到达开环零点的入射角为 （4-11）其中为除开环零点以外的其它开环零点和开环极点往该零点所引向量的幅角之净值。 下面以开环复极点出射角为例，论证如下： 先考察一个具体系统，设其开环零、极点分布如图4-3所示。现研究 根轨迹离
11、开复极点的出射角。s jpi 5 1 4 3 z1 p4 p3 p1 2 p2 图4-3 根轨迹出射角的确定 在从出发的根轨迹分支上，靠近任取一点s，则由各开环零、极点往该点所引向量的幅角，应满足相角条件： (4-12)当s 与充分接近时，则相角趋进于开环复极点的出射角。故 同理，对于一般控制系统，与式(4-12)相对应有下列关系式：故一般系统开环复极点的出射角为 规则9根轨迹的分离点（或汇合点） 两条或两条以上根轨迹分支，在s平面上某处相遇后又分开的点，称做根轨迹的分离点（或汇合点，为了简化，统称为分离点）。可见，分离点就是特征方程出现重根之处。重根的重数就是汇合到（或离开）该分离点的根轨迹
12、分之数（如图4-5所示）。一个系统的根轨迹可能没有分离点，也可能不止一个分离点。根据镜象对称性，分离点是实数或共轭复数。一般在实轴上两个相邻的开环极点或开环零点之间有根轨迹，则这两个极点或零点之间必定存在分离点或汇合点。根据相角条件可以推证，如果有r条根轨迹分支到达（或离开）实轴上的分离点，则在该分离点处，根轨迹分支间的夹角为。 确定分离点的方法有图解法和解析法。下面介绍一些常用的计算方法，即根据函数求极值的原理确定分离点。它们所提供的只是分离点的可能之处（即必要条件）。因此分离点是满足下列三组方程中任一组方程的解：（1） 在分离点处 或 （4-13）其中 （2） 由式（4-2）可得表达式在分离点处 （4-14）（3） 分离点坐标d是下列方程的解 （4-15）（证明略） 例4-3 已知系统开环传递函数 试求系统闭环根轨迹分离点坐标。 解 （1） 方法1 根据式(4-13)，对上式求导，
