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1、 2 柯西古萨定理及其应用一、引理与基本定理1. 引理若f z在单连域 D内解析,且f z连续,则对任意简单闭曲线 C D, 有：C f z dz 0 。证明 f z u iv解析,且 f z 连续， u v, u v 且它们x y y x 均连续。从而，由格林公式， C f z dz C udx vdy i C vdx udyv u u vdxdy i dxdy 0 0 0 。D x y D x y推论 若 f z 在一条简单闭曲线 C的内部及 C 上解析，则 f zdz 0。 eiz例1 计算2e dz，其中曲线 C为正向圆周： z 3i 1。C z2 1解 奇点 z i 不在闭曲线 C
2、内， 在 C 内，被积函数 f z 解析，从而， iz2e dz=0。C z2 12. 柯西古萨基本定理C Gs 定理 若 f z 在单连域 D 内处处解析， 则对任意闭曲线 C D, 有：f z dz 0 。C二、原函数与不定积分1. 存在性定理 由基本定理及高等数学的知识知道，必有：若 f z 在单连域 D 内解析，则积分 f z dz 与路径无关。即此时 , Cz1zf z dz f z dz ，其中称 z1 为上限， z0 为下限。积分f z dz 称为上C z0z0限 z的函数 , 记为 F z ，并有：定理 1 若 f z 在单连域 D 内处处解析 , 则 F z 为解析函数 ,
3、且证明z x,yF z = z0 f zdzx0,y0 udx vdyx,yi x0,y0vdx udy U iV ,f z u vi 在单连域 D 内解析，v, uvy yxdU udx vdy, dV vdx udy ，即UUVVu, v; v,u 。xyxy从而，V , Uyy于是，UVF z 为解析函数 , 且 F z i u iv f z .xx2. 原函数概念与积分计算定义 若 F z f z , 则称 F z 为 f z 的原函数或不定积分。易见z f z dz 是 f z 的一个原函数，且任二原函数相差一常数。类似牛顿莱 z0布尼兹定理的证明，有：定理 2 若 f z 在单连域
4、 D内解析, F z 为 f z 的原函数 ,则z f zdz F z1 F z0 F z z0 。 z00例 2 计算 Czdz,其中C为从点 0到点1 i的曲线段 .解 f z z 处处解析 , 从而 ,1 iz2Czdz 0 zdz 21ii例 3 求 2 cot zdz.2解 f z cotz在 D :0 Rez 内处处解析，且 , i D ，从 22而，i cosz i 原式 2 cosz dz ln sin z 22 sin z 2ln sin i lnsin ln cosi ln cosh1.22三、柯西古萨定理的推广1. 引理定义 两条曲线称为连续变形曲线， 如果开闭不变； 方
5、向不变； 连续 扫过其存在的解析区域 .闭路变形原理 设 f z 在区域 D 内解析，闭曲线 C1 的任意连续变形曲线为C2 ，则 f z dz f z dz ，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值 C1C2证明 如图：连 A a,B b,则由 C GsTh知:f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz 0,AEBbeaAAEB Bb bea aAf z dzAafbBFA二式相加 , 得f z dz f z dz f z dz f z dz 0.Aa afb bB BFAf z dz f z dz 0, 即 f z dz f z dz 0 （* ） AEBFA a
6、fbeaC1C2f z dz f z dz. C1C2例 4 证明：2 i ，其中 C 为任意包含点 z0 的闭曲线 . z z0证明 在C的内部作圆周 C1: z z0 r，则 dz 2 i。1 0C1 z z01f z 只有一个奇点 z z0 ， C,C1 互为连续变形曲线， z z0由原理知， dzdz 2 i.C z z0 C1 z z0dz2 i, k 1,进一步，有： kC 为任意包含点 z0的闭曲线。C z z0 k 0, k 1.注:由原理证明中的 (*) 式,若将C1,C2 视作一条复合闭路C1 C2，其正向为外线逆时针 ,内线顺时针 ,则 f z dz 0 。进一步可由一般
7、地：2. 复合闭路定理定理 3 设 f z 在多连域 D内解析 ,简单闭曲线 C,C1,C2, ,Cn D,且以 其 为 边 界 ( C C1 C2Cn ) 的 区 域 也 属 于 D , 诸 f z dz 0 ； Cf z dz k 1 Ckf z dz 。Ck k 1,2, ,n 互不相交，互不包含，但均在 C 的内部，则注:定理 3 从理论上指明了闭路积分的计算方法：若 f z 在闭曲线 C 所围域内解析，则 f z dz 0 ；若 f z 在闭曲 线C所围域内不解析，则 f z dz等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。例 5 计算 C z2 zd2z 4 ，其中 C由正向圆周 z 32
8、与负向圆周 z 1构成。1解 f z 2 2 的奇点 z 0,z 2i 不在 C 内，z2 z2 4即 f z 在C内解析， Cz2 zd2z 4 0.，其中 C 为正向圆周 z例6 计算dz z2 1 1z1,1的闭曲线 C1,C2 ，是，原式1 z2dz 1C2 z21 z 1C2 zdz11210 2 i 2 i 0 0.2dz dz( C1 z 1C1 z 1)dz( C2 z 1yC2 z 1)x解 f z 2 在C内有奇点 z 1，如图在C 内作单独包含 z1 3 柯西积分公式及其推广一、柯西积分公式1. 定理与公式定理 1 设 f z 在区域 D内解析，任意简单闭曲线 C D，且
9、I(C) D ， 对 z0 I C ，有 f z01 f z dz 柯西公式。2 i C z z0证明(思路)Czf zz0dzCzf zz00dz C f zz zf0z0 dz2 i f z0 + C f zz zf0z0 dz,可以证明:注： 10. 分析意义： f z 在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对z D ，有 f z 1 f d 柯西型积分 ;2 i C Dz020. 计算意义：公式可用于求闭路积分: f z dz 2 if z0 .C z z02. 应用举例例1 设C为正向圆周 z 2，计算 1cos z dz 。2 i C z icosz解 在 C 内有奇点 z i
10、 ，从而，由柯西公式， zie e 1原式 =cosz z i cos icosh1。2z 1例 2 计算 22z 1 dz ，其中 C 为正向圆周 z 4。C z2 z 2z 1解 2 在C内有奇点 z 0, 1， 作 C1 ,C2分别单包 z 0, 1， z2 z从而，原式 =2z 1C z1 dz CC1 z C22z 1zz1dz2i2z 1z12i2z 1z12 i 2 i 4 i。e2例 3 设 f z d ，其中 C 为正向圆周 2 ， 试求 f 1 i , f 1 2i 。z 2 z解 z 2时， f z 2 ie 2 , f z2ie 2 ，z 2时， f z 0, f z
11、0 。又 1 i 2 2,1 2i 2，从而，1if 1 i 2 ie2 2 e2, f 1 2i 0。二、柯西积分公式的推广导数公式1. 定理与公式定理 2 解析函数的导数仍为解析函数，且f n z0 2n!i C zfzzn1dz，2 i C z z0 n 1其中 C为 f z 的解析域D 内含 z0 D的任一正向简单闭曲线，且I(C) D 。证明 （思路 ） 应用数学归纳法，先证：2 i C zf zz0 2dzf z0lizm0 f z0z f z01!注：10. 分析意义：解析函数任意阶可导20. 计算意义：公式可用于求闭路积分z fzzn1dz 2n!i f n z0 z z0 n 1 n!化积分问题成微分问题2. 应用举例ze例4 计算3 dz，其中 C为正向圆周C z 2 33。ze解3 在 C 内有奇点 z 2 ，从而，z 2 3原式 =2!2 i ez2ie 2 i 。 z 2 e例5 计算sinz 3 z-2 2 z4z2dz。4z解3zsin z4z 2 4zsin zz z 2 2在 z 2 2 内有一个奇点 z 2 ，从而，sin z原式2idz1!sin zzz22izcosz sin zz2z22cos2 sin 22icos2sin2i。
