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1、一道面积平分问题的分析与探究陕西师范大学数学与信息科学学院 罗新兵陕 西 省 西 安 市 曲 江 一 中 吴晴雯1.问题的呈现及其改编图 1现有这样一道问题：有如图1所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。(不写作法，保留作图痕迹或作简要文字说明) 我们将其改编为以下的问题：请你画出一条直线，将如图1所示的图形分割成面积相等的两部分。(不写作法，保留作图痕迹或作简要文字说明) 这样改编之后，使其成为了一道纯粹的数学问题，不再具有实际背景。更重要的是，不再强调三种不同的画法，使其成为一道更具有开放性的问题。2.问题的教学价值分析在数
2、学教师培训中，我们多次选用这道题目作为培训素材，主要基于以下两点思考：第一，这个问题及其解法探究过程传递了丰富的教学信息，蕴含了较高的教学价值。具体来说包括以下三点：一是可以将引导教师探究这个问题解决的思路与方法的过程作为数学探究教学的鲜活示例，以此直接示范教师如何组织学生进行数学探究；二是可以运用高等数学的观点分析这个问题的解题方法，说明“居高可以临下”，这样就可以看透问题的本质，然后在此基础上找到解题的方向；三是这个问题的解题方法、解题过程中蕴含了丰富的数学思想方法，可以通过问题的解法提炼丰富的数学思想方法。第二，对这个问题解法的探究总有新的发现、新的收获，虽然给出了多种解法（这些解法也是
3、多次思考得到），我们感觉，对这个问题解法的仍然可以加以改进，仍然可以找到新的解法。2.1示范探究教学的案例有些数学教师谈到探究教学，总是觉得在数学课堂上很难操作。另外，在学生探究过程中，教师究竟应该做些什么，如何指导学生探究，有些教师对此也很困惑。教师组织学生自主探究，并不意味着教师对学生的活动彻底撒手不管，而要为学生的探究提供帮助，为学生的探究给予启发。怎样帮助学生？如何启发学生？为此，我们组织教师探究这道题的解法，通过一系列的问题启发他们思考，最终成功找到多种解法，亲自示范教师如何组织学生开展探究活动，为探究教学提供一个鲜活的案例。基本教学过程组织如下：（1）有些教师读完问题会问：图形中没
4、有标注各边的具体长度，是不是遗漏了有关数据？这时，我们会明确地告诉他们：图形中各边没有标注具体的长度，没有具体数值；有些教师画出如图2中所示的直线，这时我们也会通过图形适当的“极端化”（让图形下方右侧的线段向左平行移动或者图形左侧上方的线段向下平行移动），让他们认识到图2中所画的直线不一定能将图形分成面积相等的两部分。图 2在放弃了这个不正确的念头后，教师又会重新思考这个问题，少数教师还是比较茫然，很难找到解决问题的突破口，此时要适时地提出以下问题进行引导：问题1 既然无法将图1所示的图形分成面积相等的两部分，你能否找出一个与图1有关的特殊图形，并画出一条直线将其分成面积相等的两部分？图3大多
5、数教师马上会联想到矩形，并画出如图3所示的四条直线，即矩形的两条对角线和两条对边中点的连线。问题2 除了上述四条直线，还能不能画出一条直线，它也能将矩形分成面积相等的两部分？图4此时教师观察图3中所画的四条直线，发现这四条直线的一个共同特征就是这些直线都经过矩形对角线的交点。一旦教师观察出了这一特征，马上就会画出如图4中所示的直线，更重要的是他们认识到：（1）只要直线过矩形对角线的交点，就可以将矩形分成面积相等的两部分（实质上是分成两个全等的图形：直角梯形或矩形或三角形）；（2）将矩形分成面积相等的两部分的直线有无数条。问题3 你能不能利用上述发现解决开始提出的问题？图5-1l很多教师通过观察
6、发现，可以通过上下分解将图1分解为两个小矩形（如图5-1），也可以通过左右分解将图1分解为两个小矩形（如图5-2），还可以通过添加一个小矩形将图1补成一个大矩形（如图5-3）。在上述三种情形下，教师比较顺利地画出了满足条件的三条直线。图5-2l图5-3l问题4 除了上述三条直线以外，还有没有其他的直线也能将如图1所示的图形分成面积相等的两部分？如果有，还有多少条？这个问题有更大的认知挑战性，也是在原问题解决之后提出来的，是对原问题的进一步拓展和深化。其实，若要回答这个问题，就已经涉及原问题的其他教学价值。2.2说明“居高临下”的范例“居高临下”是指运用高等数学的知识、方法和观点分析中学数学教学
7、内容，从高度上抓住问题的本质，寻找解决问题的新思路，从而对问题及其解决方法形成新认识。图 6很多教师认为，满足条件的直线就只有三条。针对教师这种认识，我们进一步提出了这样的直线是否只有三条的问题，引导教师对问题进行深层次的思考和分析。首先，我们必须让教师在消除错误认识的同时建立一种理性的认识：满足条件的直线不是只有以上三条。为此可以采取以下做法：如图6所示，建立平面直角坐标系，在轴负方向上任取一点（这里为了说明方便，将点取到轴负方向上，其实点可以在平面上任意选取），过点的直线将图形的面积分成两部分。设直线的倾斜角为，则如图所示阴影部分图形的面积是的函数，不妨记为。可以看出，直线从水平方向绕着点
8、逆时针旋转时，阴影部分图形的面积就会越来越大，即随着的值不断增大，的值也不断增大，也就是说为连续单调递增函数。记原图形的面积为，则。由函数的介值性定理可知，一定存在一个，使得，即过点一定存在一条直线将如图1所示的图形分成面积相等的两部分。换而言之，一旦给定轴负方向上的一点，就一定存在一条过该点的直线将如图1所示的图形分成面积相等的两部分。由点的任意性可知，将如图1所示的图形面积平分的直线有无数条。通过上述分析可知，通过运用高等数学的知识、方法和观点分析中学数学的一些问题，在本案例中至少有三方面的作用：第一，使我们矫正了错误认识，也就是说，将如图1所示的图形分成面积相等的两部分的直线不是只有三条
9、，而是有无数条，这个可能是我们事先没有想到的；第二，使我们明确了努力方向，既然存在无数条直线将如图1所示的图形分成面积相等的两部分，那么如何画出这些直线？这样就将我们的思考从是否存在直线转移到如何画出这些直线上；第三，使我们坚定了意志信心，接下来我们就会试图画出更多满足条件的直线，这样的努力不是盲目的、徒劳的。 2.3蕴含数学思想的示例到目前为止，问题的分析与探究之中蕴含着丰富的数学思想方法，主要有化归转化、数形结合的思想方法以及几何问题求解中的分解法和补图法。无论是通过上下分解或左右分解将图1分为两个小矩形，还是通过添加一个小矩形将图1补成一个大矩形，这些都体现了一个基本的数学思想方法化归，
10、并统一表现为将一个不规范的图形表示为若干规范图形的组合，将一个复杂问题转化为若干简单问题的组合，将一个不规范问题转化为若干规范问题的组合，这就是化归思想的集中体现。在“说明居高临下的范例”分析中，实际上运用了数形结合的数学思想。从代数角度对无数条直线存在性的分析是严谨的，但是在分析时，必须紧密结合具体图形，而且中间要经历几次重要的“数”与“形”的相互转化，比如几何直观“直线从水平方向绕着点逆时针旋转时，阴影部分图形的面积就会越来越大”转化为代数结论“随着的值不断增大，的值也不断增大，即为连续单调递增函数”。又如代数结论“一定存在一个，使得”转化为几何事实“过点一定存在一条直线将如图1所示的图形
11、分成面积相等的两部分”。甚至我们可以看到，这种数与形之间的转化在很大程度上是在潜意识中就完成了，以至于我们没有感觉到自己已经运用了数形结合的思想方法。在解决几何问题时，常常需要将不规则的图形分解为规则图形的组合（将图1上下分解分为两个小矩形或左右分解为两个小矩形），或者将不规则的图形补成规则的图形（添加一个小矩形将图1补成一个大矩形），这些做法就是解决几何问题的分解法和补图法，它们是解决几何问题常用的方法，也是有效的方法。其实，在解决几何问题时，还有一个常用的方法割补法，即将图1中的某一部分割下来而补到它的另外一个位置，使其成为一个规则的图形。这个思路能否帮助我们画出更多满足条件的直线？3.问
12、题的更多解法探究3.1运用割补法在上述分析中，我们已经知道了满足条件的直线有无数条，但是并没有将其画出来。那么，刚刚提及的割补法能否帮助我们画出更多的满足条件的直线？通过观察图1可以发现，从它的右下角割出一个矩形，将其拼接到图1的右侧上方，使其成为一个矩形。如图7所示，边上总存在一点，过点作垂直于，垂足为，交的延长线于点，使的面积等于矩形的面积（注意：两个矩形不一定是全等的！），即把矩形割下而补到的位置，原图形的面积保持不变，这样原来不规则图形的面积平分问题就转化为规则图形矩形的面积平分问题。根据矩形面积等分的方法，过对角线的交点任作一条直线（只要与原图形的边有交点)，直线就把矩形分成面积相等
13、的两部分，当然它也把原图形分成面积相等的两部分。图7图8同理，如图8所示，从原图形的左上角割出一个矩形，将其拼接到原图形的右侧上方，使其成为一个矩形，也可以找到满足条件的直线的画法。上述两种画法关键在于找出点，以上只是说明了点的存在性，如何找到点？以下介绍两种基本思路。一是利用初中反比例函数图象的性质。如图9，建立平面直角坐标系，设点的坐标为，记，构造反比例函数。考察函数在第一象限的图象，将延长与函数图象相交于点，过点作轴的平行线与相交于点，则点就是要找的点。二是利用初中比和比例的知识。如图10，设，假设点（在上）已经找到，设，则，根据面积相等可得，可得。怎样作出呢？如图11，作，使，其中点在
14、上且，过点作的平行线交于点，在图形10中上截取线段使，则点就是要找的点。3.2运用中心对称性图12图13观察图5-1和图5-2，我们应直观感觉到：将直线绕着某个点稍微旋转一下，似乎仍然可以将原图形分成面积相等的两部分，这个点在什么位置呢？实际上，这个点就是所画直线与原图形相交后所得线段的中点。如图12，直线被原图形截得的线段的中点为，过点任作一直线 (只要与、两边都有交点)，这样在原来面积相等的两部分中，就出现了关于点中心对称的两个三角形，即和，由于它们的面积相等，从而直线也将原图形分成面积相等的两部分，由此又可以画出无数条满足条件的直线。同理，也可以找到如图13所示的满足条件的直线的画法。波利亚在怎样解题中曾经说过：“一个好的教师必须理解这些，并使他的学生深刻地认识到：没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分的研究和洞察以后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解。”关于这些，我们已经从这道题目的价值分析与解法探究中得到了真切体验。当然，我们相信，读者一定还能够发现新解法、甚至是创造性的解法。7
