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1、理论力学教学研究论文，谢建华，2008.01.28最速降线问题解的充分性是如何证明的？ 谢建华(西南交通大学应用力学与工程系，成都，610031)摘要：本文利用可动边界的变分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的若干基本原理,如Hilbert 不变积分和包络定理等，在此基础上说明了最速降线问题解的充分性。关键词：最速降线；旋轮线；变分法；充分性；力学史How to prove the sufficient condition for the brachistochrone problem? Xie Jianhua ( Department of Applied Mechanics and E
2、ngineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu,610031,China)Abstract: The paper uses the variation formula for moving boundaries and unifies several basic principles in the calculus of variations ,such as Hilberts invariant integral and envelope theorem, etc., by means of the integral on closed pa
3、th of special type , then proves the sufficient condition for brachistochrone problem. Key Words: brachistochrone problem; cycloid; calculus of variations; sufficient condition; history of mechanics早在1696年，John Bernoulli(1667-1748)曾提出这样一个问题：在竖直平面上将给定两点和用一条光滑的金属线相连(图1)，一质量为质点以初速度由点沿金属线滑动，问金属线为何种形状时，质
4、点到达点所需的时间最少？这就是历史上著名的最速降线问题(brachistochrone problem)。John Bernoulli在提问的同时，警告人们不要凭直觉认为金属线是连接点和点的直线。实际上在此之前Galileo (1564-1642)曾研究过类似问题，并错误地认为应该是一段圆弧，因为圆弧开始较陡，就获得较大的速度，走完全程的时间也就最少。最速降线问题吸引了很多著名数学家的关注， 图1 最速降线问题 * 国家自然科学基金资助项目(10772151) Newton (1642-1727)、Leibniz(1646-1716) 、lHospital(1661-1704)以及Bernou
5、lli兄弟几乎同时给出了正确的结果。John Bernoulli本人利用此问题与光线在媒质中传播的类似性，非常巧妙地得到了正确的答案：连接点和点的旋轮线(cycloid)。其兄James Bernoulli (1654-1705)提出的几何方法适用范围要广泛的多。Euler(1707-1783)在James Bernoulli方法的基础上，建立了所谓Euler方程。在变分法的初创时期，象最速降线这类问题什么是完整解答往往是含糊不清的。后来Legendre(1752-1833) 、Jacobi(1804-1851)和Weierstrass(1815-1897)等人进一步研究了变分问题的必要性和充
6、分性，建立了一些基本原理，如Legendre条件、包络线定理和Weierstrass判别法等等，为变分法进一步发展奠定了坚实的基础。最速降线问题的研究在力学史上是非常重要的，大部分力学或物理教材都将其作为一个经典范例加以介绍的，但是最速降线问题的完整解答，特是其中充分性的证明需要较多 的预备知识，故教科书一般仅限于介绍最速降线解的必要条件。本文说明，利用可动边界的变分公式,通过广义环路积分统一表示变分法中的一些基本原理,如Hilbert 不变积分和包络定理等等，在此基础可用较少篇幅说明最速降线问题解的充分性。另外还介绍如何用几何方法，证明有仅有一条旋轮线通过平面上任意两个给定的点。这样就对最速
7、降线问题的必要性、存在性和唯一性，以及充分性给了较全面的介绍。1. 问题的描述设连接点和点的曲线具有形式，质点在点的初速度为，由动能定理 (1)由(1) (2) 其中(如果从点向上正或斜抛质点，为其能达到的坐标的最小值)。由，及，然后通过积分获得质点由点沿曲线到达点所需时间 (3)最速降线问题的完整研究应该回答如下三个问题：(i) 最速降线问题的解必须满足什么样的条件，即极值曲线必须是哪类曲线？(ii) 在满足必要条件的极值曲线簇中是否包含仅包含唯一一条极值曲线过点和点？(iii)在问题(i)和(ii)得到肯定回答后，证明过点和点的极值曲线确为最速降线问的解，即证明质点沿任何其它曲线由点运动至
8、点所需时间恒大于沿极值曲线所需时间。 问题(i)、(ii)和(iii)分别对应必要性、存在性和唯一性，以及充分性问题。2. 必要性一般的教科书对最速降线解的必要性都有介绍,这里主要列举主要结论。考虑一般的变分问题 (4)设和是平面上的两个固定点。问题是如何确定函数使泛函(4)在其上取极小或极大值。我们知道使泛函为极值的函数（极值曲线）必须满足欧拉方程 (5)若函数不显含变量，即 (如(3)中的被积函数)，那么欧拉方程(5)具有初积分 (6)对于最速降线变分问题(3),利用初积分(6),就可证明最速降线必须是具有如下形式曲线： (7)其中和为积分常数。如果取半径为的圆(生成圆)在直线之下作纯滚动
9、(图2)，设当时圆周上的点与点重合，那么对径点轨迹的方程即为(7)。这说明了(7)表示旋轮线，同时也给出了积分常数和的物理含义。 图2旋轮线 图3存在性和唯一性3. 存在性和唯一性设点和点给定，过点和点作直线，在曲线簇(7)中任意选定一条旋轮线(即给定和),如图3所示。作与平行的直线，其与的两个交点分别记为和，过分别点和点作铅垂线交直线于点和点，记是与的交点。设由连续变化至 (其中和均于平行，其中对应点与点相重合,而与相切(点和点重合)，在此变化过程中，线段长度的比值 (8)由0单调地增至，因此存在唯一的使比值(8)等于。然后改变生成圆的半径(即调整的大小)，使，那么必然有；最后水平移动旋轮线
10、(即调整值)，使线段与线段重合(如此，则线段与线段必然重合)。于是有仅有(7)中的一条旋轮线过点和点。Bernoulli兄弟就是用上述几何方法，证明过点和点旋轮线是存在和唯一性的(为零特殊情况)。4.充分性为了证明充分性, 我们先通过可动边界的变分公式，并利用极值场的概念，导出Hilbert不变积分。考虑一般的变分问题(4),假定变分问题中的两个端点和不再是固定的，而是分别限制在曲线上，如图4。泛函在处的变分可表示成 (9) 其中和沿边界取得。 图4可动边界的变分问题 取定(7)中的而让变化，得到的单参数旋轮线簇覆盖了平面上的区域 (图5)，并且此区域中任一点有一条并仅有一条属于此单参数曲线簇
11、中的旋轮线通过，在区域中任一点，定义一个矢量，其中是过点旋轮线在该点处切线的斜率。这样在区域中定义了一个向量场，称为极值场(或“极值场”)。 图5 极值场 图6环路现假定变分问题(4)的一簇极值曲线在以和为边界的某区域中定义了一个极值场(图6(a)。设极值曲线由变到无穷小的相邻位置，由(9)得积分(4)的增量 (10)积分(10)得： (11)其中 类似 (12)(12)积分号下各量分别为： , (13)(11)可写成 (14)(14)可视为一种环路积分为零的表示(图6(b)中的环路)，与普通的环路积分不同的是，(14)中的被积函数在极值曲线、上和边界、上分别是和。可视为(14)一种广义环路积
12、分与路径无关的表示。特别地，如果取由和构成的环路(图6(a)，由（14），得 (15)其中右边积分号下的各量取(13)式。(15)与曲线的选取无关，只要其起点和终点分别与3点和4点重合及上的每点都在极值场内即可。(15)称为Hilbert 不变积分。 图 7 充分性证明示意图现证充分性。设和分别是连接点和点的旋轮线和任意一条异于的比较曲线(图7)，不妨设可表示成形式，实际上比较曲线可取一般参化形式。考虑 (16)其中 (17)在上式中已略去不影响结论的常数因子。由定义 (18)其中是的弧长坐标。设和分别是在点处的单位切向量和极值曲线在点处的单位切向量。由Hilbert 不变积分(15)，并利用(17),导出 (19)其中是与之间夹角，如图7。将(18)和(19)代入(16)，得 (20)若在上的每一点都有，即在上的每点满足方程，由解的存在与唯一性，必与重合，这与假定矛盾，即(20)是严格不等式。充分性证毕。5.另一种最速降线问题Bernoulli兄弟之间曾关于最速降线问题开展过一场竞赛。James Bernoulli于1697在公布关于最速降线问题解答的同时，也提出了一个问题：如果是竖直平面上的任何一条曲线，质点由点以初速沿某一光滑金属线下滑至上一点(如图8)，问金属线取什么样的形状，使质点到达所需时间最少？(简称“点到线的最速降线问题”)。在图4中将点固
