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1、2 柯西古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理 若在单连域内解析,且连续,则对任意简单闭曲线,有：。证明 解析,且连续，且它们均连续。从而，由格林公式，。推论 若在一条简单闭曲线的内部及上解析，则。例1 计算，其中曲线为正向圆周：。解 奇点不在闭曲线内，在内，被积函数解析，从而，=0。2.柯西古萨基本定理定理 若在单连域内处处解析，则对任意闭曲线,有：。二、原函数与不定积分1.存在性定理 由基本定理及高等数学的知识知道，必有：若在单连域内解析，则积分与路径无关。即此时, ，其中称为上限，为下限。积分称为上限的函数,记为，并有：定理1 若在单连域内处处解析,则为解析函数,且.证明 =,在单连
2、域内解析，。，即。从而，于是，为解析函数,且.2.原函数概念与积分计算定义 若,则称为的原函数或不定积分。易见是的一个原函数，且任二原函数相差一常数。类似牛顿莱布尼兹定理的证明，有：定理2 若在单连域内解析, 为的原函数,则。例2 计算,其中为从点0到点的曲线段.解 处处解析, 从而,.例3 求.解 在内处处解析，且，从而，原式.三、柯西古萨定理的推广1.引理定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果开闭不变；方向不变；连续扫过其存在的解析区域.闭路变形原理 设在区域内解析，闭曲线的任意连续变形曲线为，则，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.证明 如图：连,则由知:,.二式相加,得 ,即（*）.
3、例4 证明：，其中为任意包含点的闭曲线.证明 在的内部作圆周，则。只有一个奇点，互为连续变形曲线，由原理知， .进一步，有：为任意包含点的闭曲线。注:由原理证明中的(*)式,若将视作一条复合闭路，其正向为外线逆时针,内线顺时针,则。进一步可由一般地：2.复合闭路定理定理3 设在多连域内解析,简单闭曲线,且以其为边界()的区域也属于,诸互不相交，互不包含，但均在的内部，则；。注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：若在闭曲线所围域内解析，则；若在闭曲线所围域内不解析，则等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。例5 计算，其中由正向圆周与负向圆周构成。 2i -2i解 的奇点不在内，即在内解析，.例
4、6 计算，其中为正向圆周. y C x解 在内有奇点，如图在内作单独包含的闭曲线，于是，原式.3 柯西积分公式及其推广一、柯西积分公式1.定理与公式定理1 设在区域内解析，任意简单闭曲线，且，对，有柯西公式。 证明(思路) +,可以证明:.注：10.分析意义：在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对，有柯西型积分;20.计算意义：公式可用于求闭路积分: .2.应用举例例1 设为正向圆周，计算。解 在内有奇点，从而，由柯西公式，原式=。例2 计算，其中为正向圆周。解 在内有奇点，作分别单包，从而，原式=。例3 设，其中为正向圆周，试求。解 ，。又，从而，。二、柯西积分公式的推广导数公式1.定理与公式定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且，其中为的解析域内含的任一正向简单闭曲线，且。证明(思路) 应用数学归纳法，先证：注：10.分析意义：解析函数任意阶可导;20.计算意义：公式可用于求闭路积分: 化积分问题成微分问题2.应用举例例4 计算，其中为正向圆周。解 在内有奇点，从而，原式=。例5 计算。解 在内有一个奇点，从而，原式=。
