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1、升级增分训练 最值、范围、存在性问题1(2016贵阳监测考试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有解得a，c，b21，故椭圆C的方程为x21(2)由已知可得，直线l的方程为ykx2，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，则12k2120，x1x2，x1x2x0
2、，y0kx02，|AB|，解得k413，即k或k故所求斜率的取值范围为(，)2(2016西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2又，a2b2c2，a4，c2可得椭圆C的标准方程为1(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，P
3、B的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：yk(x2)，联立消去y，得(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB直线AB的斜率为定值3(2016贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，)和(0，)，并且经过点，抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求的最小值解：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，焦距为2c，则由题意得c，2a4，a2，b2a
4、2c21，椭圆C的标准方程为x21右顶点F的坐标为(1,0)设抛物线E的标准方程为y22px(p0)，1,2p4，抛物线E的标准方程为y24x(2)设l1的方程：yk(x1)，l2的方程：y(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)由消去y得：k2x2(2k24)xk20，4k416k2164k40，x1x22，x1x21同理x3x44k22，x3x41，()()|x11|x21|x31|x41|(x1x2x1x21)(x3x4x3x41)84k28216，当且仅当4k2，即k1时，有最小值164已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的
5、长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e，得，即ca，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2y2a2，且该圆与直线2xy60相切，所以a，代入得c2，所以b2a2c22，所以椭圆C的标准方程为1(2)由得(13k2)x212k2x12k260设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x2根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得2()EB为定值，则EB(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)，要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m103(m26)，解得m，此时，2m26，所以在x轴上存在定点E使得2为定值，且定值为
