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1、分 类 号： TP391 学号：学号：12345678910本科毕业论文复积分计算方法的探讨 Discussion on the calculation method of the complex integral（姓 名： 专 业： 指导教师姓名： 指导教师职称： （201 年 月II摘 要复积分即是指复变函数积分.复变函数作为数学的一门基础课，在它的分析理论中,复积分研究的主要对象是解析函数，它把复积分的各项知识有机的结合了起来.解析函数中的大部分重要性质都要通过复积分来证明和表述.在复积分的计算中柯西积分定理处于重要地位, 而复变函数积分的计算是积分理论的关键问题之一，也是相对来说较难解
2、决的问题.因此，对复积分及其计算方法的研究显得尤为重要.在日常生活中，复变函数的重要性很强，其中解析函数更是在理论和实践中都有着广泛的应用，它可以解决很多物理学等的实际问题.因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分重要的.柯西积分公式、牛顿-莱布尼茨公式、解析函数的高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的帮助.本文将依次介绍复变函数积分的概念以及性质，然后对几种常见的计算复积分的方法作出了系统的归纳和总结，针对每一种计算方法给出例子，从中揭示诸多方法的内在联系，并且还概括了一些求解复变函数积分的小诀窍.如此，当我们再遇上复变函数积分时，就能够根据这个复积分的特点来挑选适合的计算方法，
3、缩短解题时间，从而提高解题效率.关键词：复变函数积分 牛顿-莱布尼茨公式 柯西积分公式 留数定理AbstractComplex integration entails Complex integration.Complex function as a basic course in mathematics, in its analysis theory, the main object is to study the complex integration of analytic functions.The most important analytic functions have to p
4、rove the nature and presentation through complex integration.In the calculation of complex integral Cauchy integral theorem in an important position, one of the key issues being undone Function Integral Integral theory calculation formula is relatively difficult problem.Therefore, the study of compl
5、ex integration and its calculation method is very important.In everyday life, the importance of a strong complex function which is analytic function theory and practice have a wide range of applications, it can solve many practical problems in physics and the like.Therefore, the method of calculatin
6、g the complex to summarize and discuss integration is very important.Cauchys integral formula, Newton - Leibniz formula, higher order derivatives of analytic functions and formulas remain integral theorem for complex calculations play a great help.This article will introduce the concept and the natu
7、re of turn complex function integration, and several common methods for calculating complex system integration made and summarized, examples are given for each calculation method, which reveals the internal relations of many methods, and also outlines some of solving complex function integral tips.S
8、o, when we re-encounter complex function points, according to the complex will be able to select the characteristics of the integral calculation methods suitable to shorten the time solving problems, thereby improving the efficiency of solving problems.Key words: Complex integration Newton - Leibniz
9、 formula Cauchys integral formula T The residue theorem目 录摘 要IAbstractII第一章 复变函数积分简介11.1 复变函数积分概述11.1.1 有向曲线的概念11.1.2 复变函数积分的定义1第二章 常见的复积分几种算法32.1 用牛顿-莱布尼茨公式（）计算复积分32.2 利用定义求解复积分3 2.3 把复积分化为实变量的实曲线积分来求解4 2.4 用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法6 2.5 利用柯西积分公式求解复积分的方法72.6 用柯西定理及其推论计算复积分82.7 利用留数定理求解复积分9第三章 小结11致 谢13参
10、考文献14原创性声明15论文使用授权声明15注：1.自动生成的目录，生成后需要调整整个目录部分（其中包括文字、数字等）均设为：宋体小四字号、段落设为：段前、段后均为0行，行距均为：固定值20磅。2.在目录中，一级标题顶格，二级标题空两个字符，若有三级标题，则三级标题空四个字符第一章 复变函数积分简介1.1 复变函数积分概述1.1.1 有向曲线:设为一条给定的平面上光滑(或按段光滑)曲线, 然后选定的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把称为带有方向的曲线, 简称为有向曲线.如上图中所示.如果曲线的正向为到，记为.那么曲线的负向就是到，记为.一般曲线的正方向总是指从起点到终点的
11、方向.反之，曲线的负向就是终点到起点的方向，记为.闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向，记为.顺时针方向为负方向，记为.对区域的边界线而言，的正向是指当曲线上的点沿此方向前进时，所围区域始终在点的左方.单连通区域的边界线的正向沿逆时针方向:记为多连通区域的外边界线的正向沿逆时针方向:记为.内边界线的正向沿顺时针方向:记为.1.1.2 复积分的定义 设为复平面上以为起点，而以为终点的光滑曲线（有连续导数），在上取一系列分点把分为段，在每一小段上任取一点作和数,当，且每一小段的长度趋于零时，若存在，则称沿可积，称为沿的路径积分.为积分路径，记为(若为围线（闭的曲线），则记为).（在上取值，即在上变
12、化）.如图中所示.2第二章 复积分的几种计算方法常见的复积分几种计算方法有：1.用牛顿-莱布尼茨公式计算复积分；2.利用定义求解复积分；3.化复积分为实变量的实曲线积分来求解；4.用解析函数的高阶导数公式求解复积分的方法；5.利用柯西积分公式求解复积分的方法；6.用柯西定理及其推论计算复积分；7.利用留数定理来求解复积分；2.1 用牛顿-莱布尼茨公式（）计算复变函数积分 定理2.1.1 公式：设在单连通域内解析，为的原函数，则 在积分与路径无关的条件下（即被积函数在单连通区域内处处解析）也可直接按类似于实积分中的公式计算. 例2.1.1计算积分 I=，其中为（） 的上半圆周，逆时针方向. 解
13、因为 和在复平面上处处解析，则 =(+)=-3 用公式求解复积分时要注意以下几点：(1)原域是单连通域；(2)积分值仅与起点、终点有关，与具体的路径无关（即积分与积分路径无关时）；(3)原函数是初等函数.2.2 利用定义求解复积分 例2.2.1 计算复积分，其中积分路径C是连接由0到的直线段. 解 为从点0到点的直线方程，则有 . 例2.2.2 计算积分 1)；2)，其中积分路径是连接点及点的任一曲线解 首先，对进行分割，并近似求和，则（1）当为闭曲线时，因为，所以，即 （2）当为闭曲线时，沿连续，则积分存在，设，则，又可设，则，因为存在的极限，且极限应与及极限相等，所以，则 说明 通常当积分曲线分为小段时，考虑利用定义法来求解复积分但是这种方法比较繁琐，所以不常使用2.3 把复积分化为实变量的实曲线积分来求解 假设复变函数定义在区域上，是上可求长曲线（或逐段光滑曲线），并设存在设，沿曲线C连续，有 (2.1) 按曲线的参数方程特点，则式（2.1）可化为三种具体的计算公式：定理2.3.1当光滑曲线的参数方程为且分别对应的起点和终点，则式（2.1）可化为= + (2.2) 例2.3.1 求为（），方向从指向解 ，由式（2.2）得出=+ =定理2.3.2 当光滑曲线方程为，则可化式（2.1）为= + (2.3) 例2.3.2 求 ，为抛物线 解 = =定理2.3.3
