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1、第四章 数形结合思想第3讲一、概述与要点本讲讨论综合题的数形结合问题.综合题中常需要使用多个知识点，这些知识点涉及代数、几何等方面，解此类综合题关键是运用数形结合的思想，挖掘有用的隐含条件，把几何图形的直观描述与数量关系的精确刻画有机的结合起来，并进行合理的转化，使复杂问题变得简洁、扼要，达到化难为易的目的.二例题选讲例1（02 河北考题）如图4-3-1，矩形ABCD中，AB=12cm ， BC=6cm， 点P从A往B以2cm/秒的速度移动，点Q从D往A以1cm/秒的速度移动，它们同时出发，用t秒时间完成运动（0t6）（1）当QAP是等腰直角三角形时，求t的值.图4-3-1（2）设PQC面积为
2、y，求y与t之间的函数关系式.（3）当以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似时，求t的值.（4）计算四边形PAQC面积并根据计算结果，提出一个与此相关结论.解：（1）根据题意，设DQ=t AQ=6t AP=2t. 当APQ为等腰直角三角形时，A=90 AP=AQ. 6t=2t 当t=2秒时，QAP为等腰直角三角形. （2）SABCQ=(6t6)12=726t SAPQ=2t(6t)=6tt2 SPBC=6(122t)=366ty=SABCQ SAPQSPBC=t26t36. (0t6) (3) 当QAPABC时，=， 即= t=； 当 PAQABC时，=， 即= t=. 当t=或3时，QAP
3、与ABC相似.（4）SPAQC=62t+(6t) 12=36提出的结论： 不论P、Q两点如何移动（0t6）四边形PAQC的面积始终是一个定值，它总等于36. 点P、Q到对角线AC距离之和始终不变. 四边形PAQC的面积总等于矩形ABCD面积的一半.反思：第（1）题由“形”到“数”，第（2）题即函数问题，第（3）题又由“形”到“数”，第（4）题“形”到“数”相结合，整个问题数形密切结合，知识点涉及了代数和几何两个方面，解得流畅自然，一道综合性试题变得浅显轻而易举地解决了.图4-3-2 例2（2004，嘉定）如图4-3-2，已知圆A与圆B两圆外离，圆A与圆B两圆半径分别为4cm,2cm.圆心距AB
4、=8cm,点P是圆心距AB上一个动点，且PC切圆A于C点，PD切圆B于点D，若PD=PC，(1) 求COSCAB的值。(2) 若PC与PD不垂直，是否存在这样的点P，使APC与以P、B、D三个顶点构成的三角形相似？若存在，请求出PB的长，若不存在，请简要说明理由？(3)设AP=xcm,当x为何值时，直线PD与圆A相离、相切、相交？变式：设AP=xcm,当x为何值时，CP所在的直线与圆B相离、相切、相交？解：（1）设PA=x，则PB=8-x，根据题意可得，AC PC， BD PD CP2=X2-42，PD2=（8-X）2-22 又因为PD=PC （8-X）2-22= （X2-42） X1=5 X
5、2=31（舍去）PA=5 COSCAB=（2）存在 假设APC与以P、B、D三个顶点构成的三角形相似 1 当APC=B时，PCBDPCPD与已知PC与PD不垂直相矛盾，这种情况不存在。 2 当APC=DPB时，= 设PB=y，则PA=8-y= 得y= 当PB=时，APCBPD(3)PD与圆A相切于点M，连接AM，则AMPD AMPBDP = = 得x= 当x6时，直线PD与圆A相离，当x= 时，直线PD与圆A相切。当4x0 无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点。（2）方程x2-(m2-1)x- m2=0的两个根为-1，m2由 m2-（-1）=3，求出m=此时直线y=x+2,A(-1,
6、1)B(2,4)则OA=，OB=2，AB=3AOB为Rt，OB边上的高h=反思：当几何图形的点落在一次函数、二次函数、反比例函数图象上时，就要把函数与几何图形联系在一起，促进数与形的相互转化，进而有利于用代数方法研究几何图形。DY1Y2BANCMPYX例4（2002年，扬州）如图4-3-4矩形ABCD的边AB平行于y轴，点A在直线y=kx-2上，点C在抛物线y1=2x2+bx-b上，点B、D在抛物线y2=x2-3x+3上（点B在点C的右方）已知抛物线y1的对称轴为直线x=.点D的横坐标为xD=2 （1）求b的值 （2）求K的值 （3）一平行于y轴的直线分别交抛物线y1、y2及直线于M、N、P三
7、点，若NP=2MN，求线段MN的长解：（1）由x= a=2得b=-5 y1=2x2-5x+5（2） CDy轴 xD=2 得xc=2 设c点坐标为（2，y）代入y1,得c点坐标为（2，3）同理可得B(3,3)由A（3，1）在y=kx-2上，得K=1(3) 设P（x,x-2）M(x, 2x2-5x+5) N(x, x2-3x+3)图4-3-4得NP= x2-4x+5 NP= x2-2x+2 由NP=2MN 得x=1MN=1或5反思：点的坐标是连结代数与几何知识的纽带，点的坐标是用一对有序实数对给出的，在直角坐标系中，它们可以转化为图形位置关系或转化为线段长度，函数与直线形几何题结合的问题解决主要方
8、法是数形结合，结合图形设点的坐标，再将点的坐标与对应的方程系数建立联系，得到结论解决问题。三习题精选1. 如图4-3-5，直角坐标系中，O的坐标为（2，0）圆o与x轴交于原点和A点。B、C、E三点的坐标分别为（-1，0）（0，3）（0，b）且0b3(1) 求A点坐标和经过B、C两点直线解析式图4-3-5(2) 求点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O有哪几种位置关系？并求每种关系中b的取值范围。2. 如图4-3-6，ABC中，A=90AB=AC=1 P是AB上不与A、B重合的任意一点，PQBC于Q，QRAC于R（1） 求证PQ=BQ（2） 设BP=x CR=y 求y与x之间的函数关系式（3）
9、x为何值时，RPBC图4-3-7图4-3-63. （2003，崇明）如图4-3-7，已知等腰RtABC中，ABC=90 COAB，AB=2，点E与点F分别在边AC、BC上滑动并保持CE=BF但点F不与C、B重合，点E不与A、C重合。（1） 当点E、F分别在边AC、BC上滑动时，S四边形CEOF与SABC之间，有怎样大小关系？试证明你所得结论。(2)CE=x SOEF=y,写出y与x的函数解析式(3)当SOEF=SABC时，求点E、F分别在CA、CB上的位置。 4.(2004,金山)已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，以点B为圆心的圆与边AD相交于点P（1） 如图4-3-8-1，若CP与圆B
10、相切，求AP的长（2） 如图4-3-8-2，经过点P的圆B的切线与线段BC相交与点F，与线段DC的延长线相交于E，设AP=x,CE=y，求出y关于x的函数解析式（3） 过点P的圆B的切线与BC所在的直线相交于点F，当CF=1时，求AP的值图4-3-8-2 5.（2002，福州）如图4-3-9，已知ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上（与点A、C不重合）Q点在BC上（1） 当PQC的面积与四边形PABQ面积相等时，求CP的长（2） 当PQC的周长与四边形PABQ周长相等时，求CP的长（3） 试问在AB上是否存在点M，使PQM为等腰Rt？若不存在，请简要说明理由，若存在，
11、请求PQ的长。图4-3-9 6.（2004，泰州）如图4-3-10，用剪刀将形状如图所示的矩形纸片ABCD沿直线CM剪成两部分，其中M为AD的中点，用这两部分的纸片可以拼成一些新图形，例如图所示中的RtBCE就是拼成的一个图形，若RtBCE是等腰Rt，设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米，且a、b恰好是关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0两个实数根，试求出原矩形纸片的面积图4-3-10 7.（2003，吉林）如图4-3-11，已知A（8，0）B（0，6）C（0，-2）连结AB，过点C的直线L与AB交于P（1） 如图，当PB=PC时，求点P的坐标（2） 如图，设直线L与x轴
12、所夹的锐角为且tg =,连结AC，求直线L与x轴的交点E的坐标RtPAC的面积 图4-3-11XABCDY 8.（2001，上海）如图4-3-12已知抛物线y=2x2-4x+m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点为C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，（1）求实数m的取值范围 （2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含m的代数式表示） （3）若直线y=x+1分别交x轴、y轴于点E、F，问BDC与EOF是否可能全等？若可能，请证明。若不可能，请说明理由。图4-3-129.已知抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)(1) 求证无论m取何值，抛物线都经过x轴上的一个定点（设为A点）(2) 设抛
13、物线与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，无论m取何值，ABC的大小不变，为什么？(3) 设抛物线的顶点为P，PDx轴，D为垂足，若SABC=3SABP，求证PABC；(4) 在（1）、（2）、（3）的条件下，试画出抛物线y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)的图象（草图）。若y轴的正半轴上有一点N，使以A、O、N为顶点的三角形与以P、A、D为顶点的三角形相似，求N的坐标。10是否存在直线y=kx+b与抛物线y=x2-2x-3相交于P、Q两点，且使y轴平分CPQ的面积，若不存在，请简要说明理由，若存在，求k、b满足的条件。11（2000厦门）已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别相交于A、B，另一直线y=kx+b(ko)过点C（1，0）且把AOB分成两部分。（1）若AOB被分成的两部分的面积相等，求k、b的值（2）若AOB被分成的两部分的面积比为1：5，求k、b的值。ABMPCQYX12（2003黑龙江）如图4-3-13抛物线y=ax2+bx+c与 x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点
