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1、习题 2-2一打入基地内的木桩如图所示，杆轴单位长度的摩擦力 fkx2，试做木桩的后力图。解：由题意可得： l 1 0 fdx F 有 kl 3 F k 3F / l 3 3 l FN x1 3Fx 2 / l 3dx F x1 / l 3 0习题 2-3 石砌桥墩的墩身高 l 10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载 F 1000kN ，材料的密度 2.35kg / m 3 ，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为： N F G F Alg 2-3 图 1000 3 2 3.14 12 10 2.35 9.8 3104.942kN 墩身底面积： A 3 2 3.14 12 9.14
2、m 2 因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。 N 3104.942kN 339.71kPa 0.34MPa A 9.14m 2习题 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7 图解：取长度为 dx 截离体（微元体）。则微元体的伸长量为： Fdx l F F l dx d l ， l dx EA x 0 EA x E 0 A x r r1 x r r d d1 d ， r 2 1 x r1 2 x 1 ， r2 r1 l l 2l 2 d d1 d d1 d d1 2 d d A x 2 x 1 u2 ， d 2 x 1 du 2 dx 2l 2 2l 2 2l
3、2l 2l dx d d 2l du dx du ， 2 2 1 du 2 d 2 d1 A x u d1 d 2 u l F F l dx 2 Fl l du 因此， l dx 0 u 2 0 EA x E 0 A x E d1 d 2 l 2 Fl 1 l 2 Fl 1 u E d d d d E d1 d 2 0 2 2 d 1 1 x 1 2l 2 0 2 Fl 1 1 E d1 d 2 d 2 d 1 d d1 l 1 2l 2 2 2 Fl 2 2 4 Fl E d1 d 2 d 2 d1 Ed 1 d 2习题 2-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常
4、数为 E ，试求 C 与 D 两点间的距离改变量 CD 。 F/A F解： E EA F 式中， A a a 4a ，故： 2 2 4 Ea a F F ， a a a a 4 Ea 4 E F 145 a a ， CD 2 a 3 a 2 2 a 4 E 3 4 12 145 C D 2 a 2 3 a 2 3 4 a 12 145 145 F F CD C D CD a a 1.003 12 12 4 E 4 E习题 2-11 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，其弹性模量E 210GPa ，已知 l 1m ， A1 A2 100mm2 ， A3 150mm2
5、， F 20kN 。试求 C点的水平位移和铅垂位移。 受力图 变形协调图 2-11 图解：（1）求各杆的轴力 以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 AB 平衡，所以 X 0， N 3 cos 45o 0 ， N 3 0 由对称性可知， CH 0 ， N1 N 2 0.5F 0.5 20 10kN （2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 N1l 10000 N 1000mm A 点的铅垂位移： l1 0.476mm EA1 210000 N / mm2 100mm 2 N 2l 10000 N 1000mm B 点的铅垂位移： l 2 0.476mm EA2 210000 N / m
6、m 2 100mm 2 1、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由 1、2、3 杆的变形协（谐）调条件， 并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到 C 点的水平位移： CH AH BH l1 tan 45 0.476mm o C 点的铅垂位移： C l1 0.476mm习题 2-12 图示实心圆杆 AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在 A 点作用有铅垂向下的力F 35kN 。已知杆 AB 和 AC 的直径分别为 d1 12mm 和 d 2 15mm ，钢的弹性模量E 210GPa 。试求 A 点在铅垂方向的位移。解：（1）求 AB、AC 杆的轴力 以节点 A 为研究对象，其受力图如图所示
7、。 由平衡条件得出： X 0： N AC sin 30 o N AB sin 45o 0 N AC 2 N AB a Y 0 ： N AC cos 30 o N AB cos 45o 35 0 3N AC 2 N AB 70 b a b联立解得： N AB N1 18.117kN ；N AC N 2 25.621kN （2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移 1 N12 l1 N 2 l 2 2 F A 2 2 EA1 2 EA2 1 N12 l1 N 2 l 2 2 A F EA1 EA2 式中， l1 1000 / sin 45o 1414mm ； l 2 800 / sin 30 o
8、 1600mm A1 0.25 3.14 12 2 113mm2 ； A2 0.25 3.14 152 177mm2 1 18117 2 1414 256212 1600 故： A 1.366mm 35000 210000 113 210000 177习题 2-13 图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径 d 1mm 的钢丝，在钢丝的中点C 加一竖向荷载 F。已知钢丝产生的线应变为 0.0035 ，其材料的弹性模量 E 210GPa ，钢丝的自重不计。试求： （1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在 C 点下降的距离 ； （3）荷载 F
9、 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力 E 210000 0.0035 735MPa （2）求钢丝在 C 点下降的距离 Nl l 2000 l 735 7mm 。其中，AC 和 BC 各 3.5mm 。 EA E 210000 1000 cos 0.996512207 1003.5 1000 arccos 4.7867339 o 1003.5 1000 tan 4.7867339 o 83.7mm （3）求荷载 F 的值 以 C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得： Y 0 ： 2N sin a P 0 P 2N sin a 2A sin 2 735 0.25 3.14 12 sin 4.78
10、7 0 96.239 N 习题 2-15水平刚性杆 AB 由三根 BC BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载F20KN三根钢杆的横截面积分别为 A112 平方毫米，A26 平方毫米，A39 平方毫米，杆的弹性模量 E210Gpa，求：（1） 端点 A 的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。解：（1） l 1 fdx F 有 kl 3 F 0 3 k 3F / l 3 l FN x1 3Fx 2 / l 3dx F x1 / l 3 0 FN 3 cos 45 0 FN 1 F2 FN 3 sin 45 F 0 F 0.45 F 0.15 0 N1 F1
11、 60 KN F1 401KN F1 0 KN 由胡克定理， FN 1l 60 107 0.15 l1 3.87 EA1 210 109 12 10 6 FN 2l 40 107 0.15 l2 4.76 EA2 210 109 12 106 从而得，Ax l2 4.76， Ay l2 2 l1 3 20.23 ） （ （2） V F Ay F1 l1 F2 l2 0 Ay 20.33 ） （ 习题 2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 l 保持不变，斜杆 AB 的长度可随夹角 的变化而改变。 两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达
12、到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角； （2）两杆横截面面积的比值。解：（1）求轴力 取节点 B 为研究对象，由其平衡条件得： Y 0 N AB sin F 0 F N AB sin X 0 N AB cos N BC 0 F N BC N AB cos cos F cot 2-17 sin （2）求工作应力 N AB F AB AAB AAB sin N BC F cot BC ABC ABC （3）求杆系的总重量 W V AAB l AB ABC l BC 。 是重力密度（简称重度，单位： kN / m 3 ）。 l AAB ABC l cos 1 l AAB AB
13、C cos （4）代入题设条件求两杆的夹角 N AB F F 条件： AB ， AAB AAB AAB sin sin N BC F cot F cot BC ， ABC ABC ABC 条件： W 的总重量为最小。 1 1 W l AAB ABC l AAB ABC cos cos F 1 F cot Fl 1 cos l sin cos sin cos sin Fl 1 cos 2 2 Fl 1 cos 2 sin cos sin 2 从 W 的表达式可知， W 是 角的一元函数。当 W 的一阶导数等于零时， W 取得最小值。 dW 2 Fl 2 cos sin sin 2 1 cos 2
14、 cos 2 2 0 d sin 2 2 3 cos 2 sin 2 2 cos 2 2 0 2 sin 2 2 3 cos 2 cos 2 2 0 3 cos 2 1 ， cos 2 0.3333 2 arccos 0.3333 109.47 o ， 54.74 o 54 o 44 （5）求两杆横截面面积的比值 F F cot AAB ， ABC sin F AAB sin 1 1 ABC F cot sin cot cos 1 1 因为： 3 cos 2 1， 2 cos 2 1 ， cos 2 3 3 1 1 cos ， 3 3 cos AAB 所以： 3 ABC 习题 2-18 一桁架
15、如图所示。各杆都由两 个等边 角钢组 成。已 知材 料的许 用应力 170MPa ，试选择 AC 和 CD 的角钢 型号。 解：（1）求支座反力 由对称性可知， RA RB 220kN （2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力 以 A 节点为研究对象，由其平 衡条件得： Y 0 2-18 R A N AC cos 0 RA 220 N AC 366.667kN sin 3 / 5 以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得： X 0 N CD N AC cos 0 220 N CD N AC cos 4 / 5 293.333kN 3/ 5 （3）由强度条件确定 AC、CD 杆的角钢型号 AC 杆：
16、N AC 366667 N AAC 2156.86mm 2 21.569cm 2 170 N / mm 2 选用 2 80 7 （面积 2 10.86 21.72cm 2 ）。 CD 杆： N CD 293333N ACD 1725.488mm 2 17.255cm 2 170 N / mm 2 选用 2 75 6 （面积 2 8.797 17.594cm 2 ）。习题 2-19 一结构受力如图所示，杆件 AB、CD、EF、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa ，材料的弹性模量 E 210GPa ，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点 D、C、A 处的铅垂位移 D 、 C 、 A 。 解：（1）求各杆的轴力 3.2 N AB 300 240kN 4 0.8 N CD 300 60kN 4 M F 0 N GH 3 300 1.5 60 1.2 0 2-19 1 N GH 450 72 174kN 3 Y 0 N EF 174 60 300 0 N EF 186kN（2）由强度条件确定 AC、C
