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1、走出空间与图形教学的误区近几年，作者听了相关 “空间与图形”的一些课，结合测试题的反馈情况，暴露了部分教师在教学这个内容上存有着一些共性问题。现从中摘取几个案例分析之。一、重视死记公式 忽视意义引领 求长方形、正方形、圆的周长时，学生根据周长公式，很快就解答出来了。师：现在请同学们求平行四边形的周长，谁来说说：生1：(5+3)2=16(厘米)师：说说你的理由。生1：根据长方形周长公式求。师：有不同意见吗？(绝大部分学生摇摇头，表示没有意见)生2：老师，我们没有学过求平行四边形的周长公式，解不出来。生3：老师，我觉得应该这样列式，不知道对不对？(5+4)2=18(厘米)反思案例中学生求长方形、正
2、方形、圆的周长时是那么轻车熟路，而对求平行四边形的周长时却是表现不一：有的犹豫不决，不敢下笔；有的套用长方形周长的计算方法；有的说没有学过求平行四边形的周长公式，解答不出来；有的对自己准确的解法不敢肯定这折射出了在平时的教学中相当一部分老师只强调学生记住公式，忽视了周长的意义建构。有的学生甚至不知道周长指的是什么，脑中根本没有“周长”的空间意义和相对应的表象。解题时仅仅条件反射地机械套用现成公式，离开了公式就无从下手，犹如盲人没有了拐杖，寸步难行。这样的教学，打造出的学生只会模仿，不会变通，更谈不上创新。基于此，教学中一定要让学生参与公式的建构过程，让学生在理解意义的基础上建构公式，唯有这样公
3、式才是活的，才是有用的，才会触类旁通，举一反三。其实，学生一旦领悟了周长的意义，计算这些平面图形的周长(圆除外)，根本就不需要公式，只要根据周长的意义就能够计算了。所以，有了意义的引领，即使没有公式，心中自有公式；没有意义的引领，死记公式，公式也将成为无源之水，无本之木。二、重视常规解法 忽视创新解法案例2学习圆柱的表面积时，绝绝大部分的教师仅满足于课本中的常规解法，一旦引导学生得出圆柱的表面积等于侧面积加上两底面积的和，教学马上到此打住，总觉得大功告成，而对求圆柱表面积的创新方法S表=C（h+r）只字不提。反思这本应该成为这堂课中培养学生创新水平的“生花之笔”，掀起这堂课的高潮，点燃学生的创
4、新之火，可惜绝绝大部分教师都没有好好利用，错失良机。为什么会出现这种现象呢？作者认为有两种情况，其一有的教师没有吃透教材，根本就不知道圆柱的表面积还能够这样求；其二有的教师唯课本的方法至上，教学仅停留在复制例题上。这种只局限于书本的知识与思路，局限于旧的想法与方法，不去创造性地处理教材，不能创造性地教学，不能从多方面、多角度开拓学生思维的教学，铸造出的学生只会墨守成规，循规蹈矩，不敢越雷池半步。如上例引导学生得出课本的解法后，只要稍作启发，我们已经学过圆能够转化为长方形，求圆柱的表面积除了这种方法外，同学们想一想还能够怎样计算？学生有了圆面积的推导经验，是不难得出圆柱表面积的另一种求法：将圆柱
5、的上、下两个底面分别转化成两个长方形A和B（见下图），再与圆柱侧面展开的长方形组拼成一个新的长方形。这样求圆柱的表面积就转化成求一个长方形的面积，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高加上圆柱的底面半经，即圆柱的表面积等于底面周长乘高与半径的和，用字母表示S表=C（h+r）。让学生用这种方法计算例题，再与上述方法实行对比，体验本方法的优越性。在此基础上，引导学生探究无盖圆柱表面积的方法已是呼之即出，即S表（无盖）=C（h+r2）。添加这个笔，充分挖掘了例题的开放价值，学生求圆柱的表面积不再囿于一种固定的方法，体现了解决问题策略多样化，符合课标理念。例题解法：23.14515+3.
6、14522=628（cm2）创新解法：23.145（5+15）=628（cm2）三、重视透路解题 忽视思路变通案例3右图中正方形的面积是20cm2。求圆的面积。生1：老师，哪两个一样的数相乘等于20？生2：老师，数据出错了，将20cm2改为25cm2，我们就会求了。生3：对了，我认为也是这样，还能够将20改为36、49、81、64、100都能够。生4：老师，我们没有办法求出圆的半径。反思可悲呀！已知r2=20cm2，不知如何求圆的面积。为什么求圆的面积只有知道半径才能求，而知道半径的平方学生却不懂地求呢？这无不归功于教师的“精妙之点”：同学们要求圆的面积，必须知道圆的半径，请记住。殊不知就是这
7、所谓的教师“精妙之点”，已经将学生逼进了思维的“死胡同”，跳不出教师教给他的求圆的面积必须先求半径的思路，就像孙猴子永远都跳不出如来佛的手掌心。这种教学势必造就学生只会生搬硬套，依葫芦画瓢。所以，教学中尽量避免“要求什么，必须知道什么”这样的套路解题，这无疑给学生造成一种思维定势，既指明了学生思维的方向，同时也限制了学生思维的方向，一旦思维方向受阻，将不知另辟蹊径 ，无法走出“山重水复疑无路”的困境。案例中，学生就是被求圆的面积必须先求出半径这样的一种解题套路牵着鼻子走，思维一直锁定在怎样求圆的半径上，而对于小学生来说这是一条死路，是行不通的。如果学生不受钳于这种套路解题，在第一次思维受阻后，
8、将会变更思考方向，走出在一棵树上吊死的困境，迎来“柳暗花明又一村”的新气象。原来正方形的面积20cm2就是圆的半径的平方，求圆的面积直接将3.1420=62.8（cm2）就好了，根本没必要求圆的半径。其实利用圆的面积占圆外接正方形面积的157200，也可以求出圆的面积，204157200=62.8（cm2）。这说明了求圆的面积并不一定非要知道半径不可。而有的教师总喜欢给学生套上框框，堵死了学生的思维，聪明的学生也教傻了；而没有给学生套框框，思维是活的、变通的，学生越教越聪明。案例41、一个圆柱的侧面积是100cm2，底面半径是2cm。求这个圆柱的体积。（来自测试题）从学生的解答情况看都是局限于
9、先求出高，再求体积这样一种思路。绝大多数学生这样列式，圆柱的高为100（23.142）8（cm），体积是3.14228=100.48（cm3）；有的学生因为求高遇到除不尽，就没有办法往下求了；有小部分学生运用约分法，避免了除不尽的现象，列式：3.142210023.142=100（cm3）。2、一个底面周长12.56cm的圆柱体转化成一个与它等底等高的长方体，表面积多了40cm2。求这个圆柱体的体积。（来自测试题）纵观学生的试卷能完整解答出此题的学生不多，且也是受制于底面积乘高这一思路。反思案例中的第1题其实有更简捷的解答方法：直接用圆柱侧面积的一半乘半径即可。为什么此思路无人问津，学生偏偏要
10、舍近求远呢？案例中的第2题，为什么多数学生陷入僵局，一些成绩优秀的学生也受制于底面积乘高这一思路呢？原因就在于教者在教学圆柱体体积公式时，只重视公式的推导结果，而忽视公式的推导过程，造成了学生只知道求圆柱的体积一定要底面积乘高这唯一的思路。这种只重视结论，轻过程的教法直接导致了学生思维的僵化，非常不利于学生的发展。其实在推导过程中只要引导学生认真观察、操作，学生是很容易发现圆柱体转化成与它等底等高的长方体时，表面积变了，多了两个面，每个面的面积等于半径乘高；而体积不变，由于长方体可以从三个不同的角度摆放，因此推导圆柱体积公式也就可以从不同的角度来观察：当长方体与圆柱体等底等高时，圆柱的体积等于
11、底面积乘高，用字母表示V=sh；当长方体的前面或后面做底面，宽做高时（前面相当于侧面积的一半，宽相当于圆柱的半径），圆柱的体积等于侧面积的一半乘半径，用字母表示V=S侧2r；当长方体的左面或右面做底面，长做高时（左面是多出来的一个面，面积等于半径乘高，长相当于圆柱的底面周长的一半），圆柱的体积等于半径乘高再乘底面周长的一半，用字母表示V=rhc2。学生一旦经历了这样的一个推导过程，不但创造性的掌握了圆柱的体积公式，更重要的是培养了学生的空间观念，分析能力、逻辑思维能力、概括能力及实践能力。遇到上述问题，将迎刃而解。案例中第1题圆柱体体积等于10022=100（cm3），第2题圆柱体体积等于40
12、2（12.562）=125.6（cm3）。同时让学生体验了从不同角度思考问题，给解决问题带来的简捷性，渗透了在变中寻找不变，不变中寻找变的数学思想方法。四、重视行为、符号把握 忽视图像把握案例5教学长方形面积公式推导时，一位老师是这样进行的：摆一摆，数一数。指导学生在长5cm，宽3cm的长方形纸板上，用面积1cm2的正方形摆，数一数一共摆几个1平方米；（2）说一说：长方形所含的平方厘米数与长和宽所含厘米数有什么关系？随即归纳出长方形面积公式。反思布鲁纳认为：“从形成知识的顺序和方式看，至少有三层阶梯：第一层是行为把握，这是依靠动用手足去把握对象；第二层是图像把握，这是以印象的方式去把握对象；第
13、三层是符号把握，这是以语言形式或数量形式去把握对象的高级阶段”。同时又指出：“在教授初学的学习者时，教授工作应这样处置：使三种把握：行为式图像式符号式，处于最优的协调状态。这是因为，儿童的发展原则上是经过这三个阶段完成的。所以，教授初学的儿童，根据这个顺序乃是最优方案”。很显然，儿童的认知发展必须经过具体形象思维过渡到抽象概括的过程。上述案例，虽然也通过直观操作让学生建立表象，但忽视了表象的再现和用表象来思考、想象这一环节，即没有做好充分的“过渡”工作，造成学生思维的“断层”，没有达到布鲁纳所说的三种“把握”的“最优的协调状态”。因而所建立的表象还是不够牢固，清晰的，这就必然影响后阶段的抽象概括。因此，长方形面积公式的推导，应按以下三个阶段进行：1、动手操作即行为把握。指导学生在长5厘米，宽3厘米的长方形纸板上，用面积是1平方厘米的正方形来摆，看看沿长摆能摆几个？沿宽摆能摆几个？一共能摆几个？这个长方形的面积是多少？2、用表象思考、想象即图像把握。指导学生再现前阶段形成的表象，在脑中想象：用面积是1平方厘米的正方形摆以下长方形，看看各能摆几个？它们的面积各是多少？3、归纳概括即符号把握。在分组讨论“长方形所含的平方厘米数与长和宽所含厘米数有什么关系？”的基础上，让学生自己发现，归纳长方形的面积公式。
