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1、第六讲几何轨迹几何轨迹的基本知识一、轨迹的意义1 .定义给定条件或性质 C,满足条件C的一切点所构成的图形F,称为由条件C所决定的轨迹。2轨迹命题的两面证明：“不漏不滥”(1) 完备性：符合条件 C的任何点都在图形 F上，或不在F上的任一点均不满足条件C。 即点无遗漏。(2) 纯粹性：在图形 F上的任一点都符合条件C;或不符合条件 C的任一点都不在图形 F上。保证图形 F上 的点没有鱼目混珠或冒充的点。一般来说，图形 F是知其形而不知其性，轨迹是知其性而不知其形。研究轨迹问题，就是探求适合一定条件的点的集合形成什么样的图形，使形和性得到完美统一。3轨迹命题的三种类型轨迹问题根据结论部分叙述是否
2、完整可分为三种类型：第I类：命题结论中明确说明了轨迹图形的形状、位置和大小。第II类：命题结论中只说岀了轨迹图形的形状，但位置和大小或缺，或叙述不全。第III类：命题结论中只说求适合某条件的轨迹，对轨迹图形的形状、位置和大小没有直接提供任何信息。一般把第I类、第II类命题称为轨迹定理，把第III类命题称为轨迹问题。二、基本轨迹命题命题1和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆。命题2和两个定点距离相等的点的轨迹是连结这两个定点的线段的中垂线。命题3和一条已知直线的距离等于定长的点的轨迹，是平行于已知直线且位于此直线两侧并和这直线的距离等于定长的两条平行线。命题4与两条平
3、行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线距离相等的一条平行线。命题5与相交两直线距离相等的点的轨迹，是分别平分两已知直线交角的互相垂直的两条直线。命题6 对已知线段的视角等于定角:-( :- 180)的点的轨迹，是以已知线段为弦，所含圆周角等于:-的两段弓形弧。命题7 和一个定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为球心，定长为半径的球面。命题8和两条平行线距离相等的点的轨迹是这两平行直线公垂线段的中垂面。命题9和两条定相交直线距离相等的点的轨迹，是通过这两条直线所成角的平分线。且与已知两直线所在平面垂直的两相交平面。命题10和一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是以这条定直线为轴，半径等于定长的一个
4、圆柱面。命题11和一条定线段的两端连线所张成的角等于直角的点的轨迹，是以这条定线段为直径的一个球面。各种轨迹类型命题举例一、第I类轨迹命题这类问题的求解步骤为： 写岀已知与求证；证明完备性与纯粹性；作岀结论。例1设一点到矩形的一双对顶的距离之和等于到另一双对顶的距离之和，则其轨迹为矩形的两条对称轴。已知： ABCD是矩形，I和l 是它的对称轴，P是适合条件PA PC 二 PB PD (i)的点。求证：点P的轨迹是直线I和l.证明：（1）完备性 证满足条件（i）的点必在直线I或I上.由 PA PC 二 PB PD 得以0表示AC与BD的交点，贝U PO是厶PAC和厶PBD的中线，由斯特瓦尔特定理
5、知2 2 2 2由上知 PA PC -PB PD 及 2PA PC=2PB PD从而 (PA-PC)2 =(PB - PD)2所以 PA PC 二 PBPD 或 PAPC 二 PDPB又 PA PC =PB PD所以PA=PBPC =PD即满足条件（i）（2）证纯粹性）的点P不在1上便在I 上。即证在直线I或1 上的点满足条件（i）。由图形的对称性，这是显然的。（3）得结论 由上知，所求轨迹是直线 I和I .例2 给定直角XOY，条定长（记为a ）的线段AB在角的两边上滑动，则 AB中点的轨迹是以 0为中心,a以一为半径的圆被角两边所截的圆弧QR （如图）211证明：（1）完备性 设P为AB的
6、中点，贝U P为直角三角形 OAB斜边中点，有 OP AB a ，即P22在QR上。（2）纯粹性 在QR上任取一点 P,下面证经过 P存在长为a且两端在ZXOY的两边上的线段 AB。现作U （P,OP）交角的两边于 A、B，由于.XOY为直角，又.1=.2, .3 4，.1 . 4 二/2 3 =90；，于是 APB -180，即 A、P、B 共线，于是 AB 为LI （P,OP）的直径，从而AB =2 OP ，即P是一条定长线段 AB的中点。a（3）结论：所求轨迹是以 O为中心，以为半径的圆被角两边所截的圆弧QR.2二、第II类轨迹命题第II类轨迹命题，明白说岀轨迹形状，至于位置和大小，或叙
7、述不全或干脆不说，解决这类问题，分三步： 探求轨迹，即预测轨迹的位置和大小，使其完全确定。 证明完备性和纯粹性，并下结论。 讨论，即研究所给定的条件对轨迹的影响。例3和两定点距离之比等于常数（不等于1 ）的点的轨迹是一个圆周，称为阿氏圆。设A、B为定点，点 M的轨迹使MA亠m （m = 1）， m为定常数MB探求：若一点M满足此条件，则 M关于AB的对称点也满足此条件，即所求轨迹以AB为对称轴，那么就是直径在直线AB上的圆。设内分线段 AB于C，外分线段 AB于D，使 那么C、D满足条件，轨迹可能是以 CD为直径的圆周MAMA AC ad（1）完备性 如下图，设 M为符合m而不在AB上的任一点
8、，由于，由三角形内MBMB CB DB外角平分线的性质知 MC、MD分别是.AMB的内外角平分线，从而 CM _ MD，故M在以CD为直径的圆 周上。（2）纯粹性 如下图，设M为圆上异于C、D的任一点，过 M作.CMA二.CMB交DC于A。下证A = A.由于MC为.AMB的内角平分线且CM _ MD知MD为.A MB的外角平分线，则有ACCBMA ADMB - BDAD - ACBD -CB（内、外角平分线的性质）BD -CB又由假设ACCB= (m)ADBDAD - ACBD -CBCDBD -CBAC ac从而，AC = AC，又A和A均在C的同侧，故A和 A重合CB CBMA ACm.
9、MB CB例4至U两定点距离的平方和为常量的点的轨迹（倘若存在）为一圆（可能缩为一点），称为定和幕圆设A、B为定点（如下图），k为定长，求点 M的轨迹，使满足条件 MA2 MB2二k2.探求：若M符合条件，则 M关于直线AB的对称点及 M关于AB的中垂线|的对称点也都符合条件。可见轨迹 以AB和I为对称轴，故可能是以 AB的中点为中心的圆。证明：（1）完备性 设M符合条件，连 M0，由斯特瓦尔特定理知2 2 2 2 12 12 2k =MA MB =2M0-AB ，于是 MO 二.2k -AB r2 2即 M在LI （O,r）上，其中r由上式给岀（2）纯粹性 反之，设M为LI （O,r）上任一
10、点，有 即M符合所给条件。（3）讨论AB时，轨迹为圆；当-AB时，轨迹为一孤立点；当AB2时，轨迹不存在，即没有适合条件的点。例5到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于这两点连线的一条直线，称为等差幕线。设A、B为两定点（如下图），k为常数（正、负或零），求满足条件MA2 -MB2 =k的点的轨迹AB，因而与AB探求：点M满足条件，则 M关于AB的对称点也满足条件，故若轨迹是直线，就一定对称于垂直，只须知道这直线I和AB的交点N，轨迹就完全定了由 k =MA2 - MB2 =(AN2 MN 2) -(BN2 MN 2)故ANAB2 k2AB由上式定一点 N，及通过N垂直于AB的直线I
11、.证明：（1）由探求过程知，符合条件的点M在过N且垂直于 AB的直线|上（2）反之，在|上任取一点 M，有MA2 - MB2二AN 2 - BN2二k，即点M满足条件。（3）讨论 当k =0时，I是AB的中垂线；当k : 0时，可看作满足条件的轨迹是I关于AB中垂线的对称线。三、第川类轨迹命题与解决第II类轨迹命题一样，只是探求较麻烦。探求轨迹的有效步骤为： 描迹 按所给条件作岀轨迹上若干点，连以平滑曲线，往往可发现轨迹的形状及大体位置，是直观有效的 初步方法。 预测轨迹的性质，主要观察轨迹的对称性及范围。i）若所给图形及条件均有对称性，则轨迹有相应的对称性，如轴对称和中心对称；ii）轨迹上有
12、可达任意远处的点，且无（有）端点，轨迹为直线（射线）；iii ）轨迹上没有可达任意远处的点，轨迹为线段、圆或圆弧，若有起讫，则是圆弧或线段。 确定特殊点 研究任意点和特殊点的关系如上一步或几步骤，足可判断轨迹，然后加以证明，必要时进行讨论。例6从已知半圆直径 AB延长线上任取一点 C,作切线CT及.ACT的平分线，从圆心作这平分线的垂线， 求垂足M的轨迹。探求：作OD _ AB，若Cr B时，CT趋而为B的切线，角平分线为 BD，点M为BD的中点G。由图形的 对称性知，G关于OD的对称点H也应为轨迹上一点。若 C趋向无穷远，则切线趋而为点 D的切线，角平分线R为OD的中垂线，点 M为P。故G、
13、H、P在轨迹上且共线（距 AB均为一），预测轨迹为线段 GH.2证明：（1）设M是符合条件的点，下证 M在GH上。由探求过程知，当 C在以B （ A）为端点的射线上连续1 移动时，点 M由G （ H）连续移动到点 P,只须证明M到AB的距离ME R即可。211设OM交CT于N，并作MF _ CT，显然M是等腰 OCN底边ON的中点，故 ME = MF OT R。22（2）设M为GH上一点，下证 M符合条件。作 MC _ OM，MC与AB的延长线交于点 C,作OC关于MC 的对称线 CN 形成等腰 CON ，作MEA ,B MF_CN ， OT _ CN ，则ROT = 2MF = 2ME =
14、2 R，即 CT 为切线。2注：若着眼函数关系，设 M为符合条件的任一点，设 OCT =2，贝9 故M在线段GH上。例7设BC是定半圆的直径，从半圆周上动点A作AD _ BC，在半径OA上截OP = AD，当点A描画半圆周时，点P的轨迹为何？探求：动点A在B处，显然OP = AD = 0，P重合于O, 即卩O为轨迹上一点；若 A在BC的中点M时，AD重 合于MO , P重合于M ,即M在轨迹上。下面考察特殊点O、M与一般点P的关系。显然有 ：AO OMP，因此 OPM = ADO =90,又图形与条件均以 OM为对称轴，轨迹也以 OM为对称 轴，故可判断轨迹是以 OM为直径的圆。证明：（1）完
15、备性 由探求已证。（2）纯粹性 在这圆上任取一点 P异于O、M , A表示OP与半圆周的交点，作 AD _ BC，则由RtAOD与 RLQMP斜边等，一锐角相等，故 OP = AD，即P符合条件。我们说明的轨迹命题的两面证明（即一方面证明合于条件C的点在图形F上，另一方面证明图形 F上的点合于条件 C）,乃是轨迹定义的必然要求，使得轨迹上的点不漏不滥。我们所选的例子都是那样典型，恰巧每 次都是合于条件 C的点在图形F上，而图形F上的点又个个合于条件 C,乃至可能引起这样的误解：认为证明 一面已经够了，两面证明徒然麻烦而已。现在通过一个具体例子说明事实并非如此。在处理轨迹问题时，一不小心便犯下错误。例8 BC是给定
