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1、单元质量测试(五) 时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A. B C3 D3答案C解析，由题意知2a1a2，解之得a3.2若z(a)ai为纯虚数，其中aR，则()Ai B1 Ci D1答案C解析z为纯虚数，a，i.3设0ba1，则下列不等式成立的是()Aabb21 Blogbloga0C2b2a2 Da2ab1答案C解析y2x是单调递增函数，且0ba1，2b2a21，即2b2a0时才能成立，所以p真q假所以选C.5不等式x2的解集是()A(，0(2,4 B(4，
2、)答案B解析当x20，即x2时，原不等式可化为(x2)24，x4；当x20，即x2时，原不等式可化为(x2)24，0x2.6已知实数x，y满足若不等式axy3恒成立，则实数a的取值范围为()A(，4 B.C. D答案B解析不等式组表示的平面区域如图所示，不等式axy3恒成立，即yax3恒成立，平面区域ABC在直线yax3上及上方，由图可知得A(1,1)，B(2,0)，C(1，1)三点在直线上及上方，满足得a，故答案为B.7按下图所示的程序框图，若输入a110011，则输出的b()A51 B49 C47 D45答案A解析由题意知b12012102202312412551.故选A.8若x，y满足约
3、束条件则的最大值为()A. B2 C. D3答案D解析要求的最大值，只要使x，y同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x，y在点B处同时取得最小值，由方程组得所以max3，故选D.9不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，则实数x的取值范围是()A(2,0) B(，2)(0，)C(4,2) D(，4)(2，)答案C解析不等式x22x对任意a，b(0，)恒成立，等价于x22xmin，由于2 8(当a4b时等号成立)，x22x8，解得4x0，1，所以abab，所以4b16a20.又4b16a4(b4a)4(b4a)2042042 36，当且仅当且1，即a，b3时
4、取等号所以362016.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13观察下列等式：1312,132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第n个等式为_答案13233343n32解析由第一个等式1312，得13(10)2；第二个等式132332，得1323(12)2；第三个等式13233362，得132333(123)2；第四个等式13233343102，得13233343(1234)2，由此可猜想第n个等式为13233343n3(123n)22.14已知某程序框图如图所示若a0.62，b30.5，clog0.55，则输出的数是_答案
5、解析由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a0.620.361，clog0.550，故ca0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元16已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是_答案4解析依题意，得(x1)(2y1)9，(x1)(2y1)26，即x2y4.当且仅当即时等号成立x2y的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z1满足(z12)(1i)1i (i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.解由(z12)(1i)1i，得z12，即z122
6、2i.设z2a2i(aR)，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.又z1z2是实数，4a0，a4.z242i.18(本小题满分12分)已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg (xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.19(本小题满分12分)设a、b、c都是正数，求证：abc.证明a、b、c都是正数
7、，都是正数2c，当且仅当ab时等号成立，2a，当且仅当bc时等号成立，2b，当且仅当ac时等号成立三式相加，得22(abc)，即abc.当且仅当abc时等号成立20(本小题满分12分)记fn(x，y)(xy)n(xnyn)，其中x，y为正实数，nN*.给定正实数a，b满足a.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn(a，b)fn(2,2)证明欲证不等式为(ab)nanbn22n2n1.(*)(1)当n1时，不等式(*)左边0，右边0，不等式(*)成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式(*)成立，即(ab)kakbk22k2k1.由a0，b0及a，得abab.a0，b0，ab2，从而ab4，a
8、bab4.进而akbabk222k2，则当nk1(kN*)时，不等式(*)左边(ab)k1ak1bk1(ab)akbabk42k24(22k2k1)2k222(k1)2(k1)1不等式(*)右边，当nk1时，不等式(*)成立由(1)(2)知，对nN*，不等式(*)成立，即原不等式成立21(本小题满分12分)已知不等式mx22xm10.(1)是否存在m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围解(1)不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，f(x)12
9、x，不满足f(x)0恒成立；当m0时，f(x)mx22xm1，要使f(x)0恒成立，需则m无解综上可知，不存在这样的m.(2)设g(m)(x21)m(12x)，则g(m)为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线由题意知，当2m2时，g(m)的图象为在x轴下方的线段，即解得x，解得x.由，得x.x的取值范围为.22(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数
10、关系可近似地表示为yx2200x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为x2002200200(400x600)，当且仅当x，即x400时等号成立故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S，则S100xy100xx2300x80000(x300)235000.400x600，Smax(4003
