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1、第四章向量组的线性相关性 1. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由 知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由 知R(B)=2. 因为R(B)R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示. 2. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)
2、T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)2, 又R(A)R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价. 3. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a
3、3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示. (2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示. 4. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; (2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为 , 所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组
4、线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为 , 所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关. 5. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由 知, 当a=-1、2时, R(A)3, 此时向量组线性相关. 6. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使 l1(a1+b)+l2(a2+b)=0, 则因a1, a
5、2线性无关,故，不然，由上式得。矛盾。由此得 , 7. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定. 例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有 a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T, 而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的. 8. 举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组a1, a2, , am是线性相关的, 则a1可由a2, , am线性表示
6、. 解 设a1=e1=(1, 0, 0, , 0), a2=a3= =am=0, 则a1, a2, , am线性相关, 但a1不能由a2, , am线性表示. (2)若有不全为0的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0成立, 则a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关. 解 有不全为零的数l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam +l1b1+ +lmbm =0,原式可化为l1(a1+b1)+ +lm(am+bm)=0. 取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, , am=em=-bm, 其中e1, e2, , e
7、m为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1, a2, , am和b1, b2, , bm均线性无关. (3)若只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm=0才能成立, 则a1, a2, , am线性无关, b1, b2, , bm亦线性无关. 解 由于只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式由l1a1+ +lmam+l1b1+ +lmbm =0成立, 所以只有当l1, l2, , lm全为0时, 等式l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ +lm(am+bm)=0成立. 因此a1+b1, a2+b2, , am+bm线性无关.取a1=a2
8、= =am=0, 取b1, , bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1, a2, , am线性相关. (4)若a1, a2, , am线性相关, b1, b2, , bm亦线性相关, 则有不全为0的数, l1, l2, , lm使l1a1+ +lmam=0, l1b1+ +lmbm=0同时成立. 解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T, l1a1+l2a2 =0l1=-2l2,l1b1+l2b2 =0l1=-(3/4)l2,l1=l2=0, 与题设矛盾. 9. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4
9、=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 证明 由已知条件得 b1-b2+b3-b4=0, 向量组b1, b2, b3, b4线性相关. 10. 设b1=a1, b2=a1+a2, , br =a1+a2+ +ar, 且向量组a1, a2, , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, , br线性无关. 证明 已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK. 因为|K|=10, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, , br线性无关. 11. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 10
10、0, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T; 解由 , 知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组. (2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7). 解 由, 知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T线性无关, 所以a1T, a2T是一个最大无关组. 12. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1); 解
11、 =,所以是一个最大无关组. (2). 解 =,所以是一个最大无关组. 13. 设向量组(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T的秩为2, 求a, b. 解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T. 因为, 而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5. 14. 设a1, a2, , an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1, e2, , en能由它们线性表示, 证明a1, a2, , an线性无关. 证 因为e1, e2, , en能由
12、a1, a2, , an线性表示, 所以R(e1, e2, , en)R(a1, a2, , an),而R(e1, e2, , en)=n, R(a1, a2, , an)n, 所以R(a1, a2, , an)=n, 从而a1, a2, , an线性无关. 15. 设a1, a2, , an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示. 证明 必要性: 设a为任一n维向量. 因为a1, a2, , an线性无关, 而a1, a2, , an, a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1, a2, , an线性表示, 且表示式是唯一的. 充分
13、性: 已知任一n维向量都可由a1, a2, , an线性表示, 故单位坐标向量组e1, e2, , en能由a1, a2, , an线性表示, 于是有n=R(e1, e2, , en)R(a1, a2, , an)n,即R(a1, a2, , an)=n, 所以a1, a2, , an线性无关. 16. 设向量组a1, a2, , am线性相关, 且a10, 证明存在某个向量ak (2km), 使ak能由a1, a2, , ak-1线性表示. 证明 因为a1, a2, , am线性相关, 所以存在不全为零的数l1, l2, , lm, 使l1a1+l2a2+ +lmam=0,而且l2, l3, , lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0, 由a10知l1=0, 矛盾. 按足标从大到小考察上式中系数，设其第一个不为零的数为，使lk0, lk+1=
