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1、江 苏 大 联 考2015届高三第四次联考数学试卷考生注意:1.本试卷共160分.考试时间120分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1.已知集合A=x|x22x,B=y|y1,则AB等于.2.若双曲线x2-ay2=1的离心率为62,则正数a的值为.3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为.4.在下列四个图所表示的正方体中,能够
2、得到ABCD的是.5.若过点P(2,-1)的圆(x-1)2+y2=25的弦AB的长为10,则直线AB的方程是.6.已知是第二象限角,且sin =35,则tan(+4)=.7.已知椭圆x2m+y2n=1(mn0)的离心率为12,且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则椭圆的短轴长为.8.设m,nR,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线l的距离为3,则AOB的面积S的最小值为.9.在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a2-b2=c,且sin Acos B=2cos Asin B,则c=.10.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛
3、物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于.11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=52cos(2x)+log12x,则函数f(x)的零点个数为.12.半径为1的球内最大圆柱的体积为.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点分别为A、B,渐近线分别为l1、l2,点P在第一象限内且在l1上,若PAl2,PBl2,则该双曲线的离心率为.14.正四面体ABCD的棱长为1,其中线段AB平面,E,F分别是线段AD和BC的中点,当正四面体绕以AB为轴旋转时,线段EF在平面上的射影E1F1长的范围是.二、解答题:本大题共6
4、小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且ACBC,P为A1B1上的动点.(1)证明:PA1平面PBB1;(2)设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1,V2,且AC=BC,求V1V2.16.(本小题满分14分)已知点C的坐标为(0,1),A,B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点,且OAOB=0.(1)求证:ACBC;(2)若AM=MB(R),且OMAB=0,试求点M的轨迹方程.17.(本小题满分14分)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,
5、底面ABCD是平行四边形,DD1平面ABCD,AB=2AD,AD=2A1B1,BAD=45.(1)证明:BDAA1;(2)证明:AA1平面BC1D.18.(本小题满分16分)已知数列an中,a1=5,a2=2,且2(an+an+2)=5an+1.(1)求证数列an+1-2an和an+1-12an都是等比数列;(2)求数列2n-3an的前n项和Sn.19.(本小题满分16分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴的比是23.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,当|MP|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.2
6、0.(本小题满分16分)已知函数f(x)=a-lnxx(aR).(1)求f(x)的极值;(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)=-1的图像在区间(0,e上有公共点,求实数a的取值范围.2015届高三第四次联考数学试卷参 考 答 案1.x|11,所以AB=x|0x2y|y1=x|10)恒过定点P(-2,0),如图过A、B分别作AMl于M,BNl于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,22),k=22-01-(-2)=223.11.7当x0时,函数f(x)=52cos(2
7、x)+log12x=52cos(2x)-log2x的零点个数,即函数y=52cos(2x)与函数y=log2x的交点个数,如图所示有3个交点,又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,所以函数f(x)的零点个数为32+1=7.12.439设圆柱的底面半径为r,高为h,则有(h2)2+r2=12,所以圆柱的体积为V=r2h=(1-h24)h=(-h34+h),而V=(-34h2+1),易知当h=23时,V取最大值(-h34+h)=-14(23)3+23=439.13.2依题意有A(-a,0),B(a,0),渐近线方程分别为l1:y=bax,l2:y=-bax,设P(x,y).由PB
8、l2得yx-a=-ba,因为点P在直线y=bax上,于是解得P点坐标为P(a2,b2),因为PAl2,所以y-0x-(-a)(-ba)=-1,即b3a(-ba)=-1,所以b2=3a2,因为a2+b2=c2,所以有c2=4a2,即c=2a,得e=2.14.12,22如图,取AC中点为G,连接EG、FG,E,F分别是线段AD和BC的中点,GFAB,GECD,在正四面体中,ABCD,GEGF,EF=GE2+GF2=22,当四面体绕AB旋转时,GF平面,GE与GF的垂直性保持不变,当CD与平面垂直时,GE在平面上的射影长最短为0,此时EF在平面上的射影E1F1的长取得最小值12;当CD与平面平行时,
9、GE在平面上的射影长最长为12,E1F1取得最大值22;射影E1F1长的取值范围是12,22.15.证明:(1)在半圆柱中,BB1平面PA1B1,所以BB1PA1.因为A1B1是底面圆的直径,所以PA1PB1,因为PB1BB1=B1,PB1平面PBB1,BB1平面PBB1,所以PA1平面PBB1.6分(2)因为ACBC,AC=BC,所以ABC是等腰直角三角形,且AB2=BC2+AC2=2AC2.所以半圆柱的体积V1=12(12AB)2AA1=4AC2AA1.多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面,以C为顶点的四棱锥,其高为点C到底面ABB1A1的距离,设这个高为h,在RtABC中,易得
10、ABh=ACBC,所以h=ACBCAB,所以V2=13AA1ABACBCAB=13AA1ACBC=13AA1AC2.所以V1V2=34.14分16.解:(1)设A(x1,x12),B(x2,x22),x10,x20,x1x2,因为OAOB=0,所以x1x2+x12x22=0,又x10,x20,所以x1x2=-1.因为 AC=(-x1,1-x12),BC=(-x2,1-x22),且(-x1)(1-x22)-(-x2)(1-x12)=(x2-x1)+x1x2(x2-x1)=(x2-x1)-(x2-x1)=0,所以ACBC.7分(2)由题意知,点M是直角三角形AOB斜边上的垂足,又定点C在直线AB上
11、,OMB=90,所以点M在以OC为直径的圆上运动,其运动轨迹方程为x2+(y-12)2=14(y0).14分17.证明:(1)因为AB=2AD,BAD=45,在ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcos 45=AD2,所以AD2+BD2=AB2,因此ADBD,因为DD1平面ABCD,且BD平面ABCD,所以DD1BD,又ADDD1=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,所以BDAA1.7分(2)连结AC、A1C1,设ACBD=E,连结EC1,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AE=12AC,由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1知,A1C1AE,且A1C1=AE,所以四边形A1C1EA是平行四边形,因此AA1EC1,又因为EC1平面BC1D,AA1平面BC1D,所以AA1平面BC1D.14分18.解:(1)由2(an+an+2)=5an+1得an+2=52an+1-an,所以an+2-2an+1=52an+1-an-2an+1=12an+1-an=12(an+1-2an).又因为a2-2a1=2-25=-8,所以数列an+1-2an是首项为-8,公比为12的等比数列.同理an+2-12an+1=52an+1-an-12an+1=2an+1-an=2(an
