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1、合肥市2020高三第三次教学质量检测数学试题（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】把复数的分子分母同乘以分母的共轭复数，把复数化成的形式，则其在复平面上的对应点为，可判断其所在象限.【详解】，在复平面上的对应点为，位于第一象限. 故选A.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义.复数除法的运算过程就是分母有理化；复数在复平面上的对应点为.2.已知是实数集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得出集合，再求
2、的补集，最后与求交集.【详解】因为,所以.又，所以.故选D.【点睛】本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握.3.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案.【详解】输入，不成立，；，成立，跳出循环，输出.故选D.【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环.4.已知是等差数列的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】列出关于的方程组并解出，即可求得的值.【详
3、解】设等差数列的公差为.由题意得 解得所以.故选A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和.等差数列的通项公式和前项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于的方程组来求.5.若向量的夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，代入已知条件，即可解得.【详解】因为， 又，所以，解得(舍去)或.故选C.【点睛】本题考查求平面向量的模,常用方法是用数量积或求解.6.若函数的最小正周期为，则图象的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由最小正周期求出，再令可得对称轴方程，从而可得答案.【详解】函数的最小正周期为，解得.,令，解得
4、，取，可得图象的一条对称轴为.故选C.【点睛】本题考查三角函数的周期性和对称轴.对于函数，最小正周期为，令可得对称轴方程.7.已知，, 为三条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可.【详解】A, 若，,则或，故A不正确.B, 若，则或与相交，故B不正确.C，若，则或，故C不正确.D,如图，由可得，易证，故D正确.【点睛】本题考查空间线面的位置关系.使用空间线面、面面平行(垂直)的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论.8.在区间上任取一个实数
5、，使得方程表示双曲线的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出使得方程表示双曲线的条件，再利用几何概型求概率.【详解】若方程表示双曲线，则，解得.在区间上任取一个实数，当时，题中方程表示双曲线， 由几何概型，可得所求概率为.故选D.【点睛】本题考查双曲线的方程，长度型几何概型.方程表示双曲线的条件是.9.已知的内角，的对边分别是，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得，再由余弦定理得，最后由求面积.【详解】由结合正弦定理可得，则.由余弦定理，可得，解得，则.又，所以.故选B.【点睛】本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，
6、求三角形的面积.已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角.已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式.10.已知直线与圆交于点，点在圆上，且，则实数的值等于（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圆的性质可得出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数的值.【详解】由可得.在中，可得点到直线，即直线的距离为.所以，解得或.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.11.若圆锥，的顶点和底面圆周都在半径为的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为，则这两个圆锥公共部分
7、的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积.【详解】易得在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示.是圆锥底面圆的直径，是圆锥底面圆的直径，两直径都与垂直.在中，则可得.在中，则，则.又，所以点重合.这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为，所以所求体积为.故选A.【点睛】本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图.12.已知，点，则的面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
8、】【分析】可得点都在曲线上，作出图形，由点的坐标表示出的面积，再由函数的性质可求出面积的取值范围.【详解】如图，点，都在曲线上，分别过点作轴的垂线，垂足分别为,易得，.设的面积为,则又，则随的增大而减小，所以，即面积的取值范围为 .故选D.【点睛】本题综合考查图形的面积，函数的最值.考查综合利用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的能力.二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.13.抛物线的焦点坐标为_【答案】(0,2)【解析】由抛物线方程x28y知，抛物线焦点在y轴上，由2p8，得2，所以焦点坐标为(0,2)14.设点是不等式组表示的平面区域内的点，则过点和点的直线的斜率的取值范围
9、是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，结合图象可得所求斜率的取值范围.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，.记，过点和点的直线的斜率为，由图象可得，而，所以，即过点和点的直线的斜率的取值范围为.【点睛】本题考查线性约束条件下可行域内的点与定点连线斜率的取值范围，解题关键是作出平面区域.15.函数的所有零点之和等于_【答案】【解析】【分析】令，利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点.【详解】令，则.设，则，解得(舍去)或.所以，解得或.所以函数有两个零点，它们之和等于【点睛】本题考查函数的零点，通过解方程来求函数的零点.16.已知函数，若对任意实数，恒有，则_
10、【答案】【解析】【分析】由函数取得最值的条件，可求得，再由三角恒等变换求的值.【详解】对任意实数，恒有，则为最小值，为最大值.因为，而，所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.所以.所以.所以.【点睛】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等比数列是首项为的递减数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列的通项公式.(2)用错位相减法求和.【详解】（1）由，得，解得
11、或.数列为递减数列，且首项为，.（2），.两式相减得，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.若数列满足且，分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列的前项和.18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为的样本，其中城镇居民人，农村居民人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民人，农村居民人.（1）填写下面列联表，并判断是否有的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这位居民中随机选取人作交流发言，求被选中的位居民都是经常阅读居民
12、的概率.附：，其中.【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】(1)由题意填写列联表，由公式计算并结合临界值表判断即可.(2)先由分层抽样求抽取出的人数，再用列举法求古典概型的概率.【详解】（1）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读不经常阅读合计则，所以，有的把握认为经常阅读与居民居住地有关.（2）城镇居民人中，经常阅读的有人，不经常阅读的有人.采取分层抽样抽取出人，则其中经常阅读有人，记为；不经常阅读的有人，记为.从这人中随机选取人作交流发言，所有可能的情况为,，共种. 被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种，所以所求概率为.【点睛】本题考查统计与概率的综合问题，考查分层抽样、独立性
13、检验、古典概型.19.如图，在四棱锥中，是的中点，是等边三角形，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥与三棱锥的体积之比.【答案】（1）见详解；（2）.【解析】【分析】(1)要证线面垂直，需在平面内找两条相交直线，证明它们与垂直.(2)分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比.【详解】（1）证明：取的中点为，连接，设交于，连接.，四边形与四边形均为菱形.，.等边三角形，为中点，.平面平面且平面平面，平面且，平面.平面，.，分别为，中点，.又，平面.（2）.【点睛】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算.要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的
14、性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明.求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面.20.已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由点的坐标和的面积列出方程组求出的值即可.(2)考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，设，由数量积的坐标运算结合根与系数的关系把所求数量积表示为的函数，然后求其取值范围.【详解】(1)由椭圆经过点，且的面积为，得，且,即.又，解得，.所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，.设，.若直线的斜率不存在，可得点的坐标为，则.当直线的斜率存在
