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1、高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂导学案新人教B版选修1-11.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂导学三点剖析一、充分条件与必要条件的判断【例1】在下列各题中,判断A是B的什么条件,并说明理由.(1)A:|p|2,pR.B:方程x2+px+p+3=0有实根;(2)A:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B:c2=(a2+b2)r2.解析:(1)当|p|2时,例如p=3,则方程x2+3x+6=0无实根,而方程x2+px+p+3=0有实根,必有p-2或p6,可推出|p|2,故A是B的必要不充分条件.(2)若圆x2+
2、y2=r2与直线ax+by+c=0相切,圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,所以c2=(a2+b2)r2;反过来,若c2=(a2+b2)r2,则=r成立,说明x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,故A是B的充分必要条件.温馨提示对于涉及充分必要条件判断的问题,必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础,有些问题需转化为等价命题后才容易判断.二、探究充分条件与必要条件【例2】 设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是()A.b0且c0B.
3、b0且c0C.b0且c=0D.b0且c=0解析:f(x)=故函数f(x)的图象如右图.由图知,f(x)图象关于x=1对称,且f(x)0,若方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个解,则方程t2+bt+c=0有两个不等实根,且一根为正,一根为0.否则,若方程有两相等实根,则方程至多有4个解,若方程有两个不等正实根,则方程有8个解.f(x)=0满足方程,则c=0,又另一个f(x)0,b=-f(x)0.故b0且c=0,选C.答案:C温馨提示充分与必要条件的寻找,要重视它们的定义三、充要条件的证明【例3】 证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为-1的充要条件是a-b+c=0.证明:充分性a-b
4、+c=0a(-1)2+b(-1)+c=0x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充分条件.必要性x=-1是方程ax2+bx+c=0的根a(-1)2+b(-1)+c=0即a-b+c=0a-b+c=0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的必要条件.综合关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.温馨提示p是q的充要条件,充分性是指pq,必要性是指qp.而p的充要条件是q,充分性则是指qp,必要性则是指pq.各个击破类题演练在ABC中,命题p:,命题q:ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的
5、()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析:由已知和正弦定理,得令则解得k=1.sinA=sinB=sinC,A=B=C.pq,p是q的充分条件,若ABC为等边三角形,则a=b=c,A=B=C,qp,q是q的必要条件.p为q的充分必要条件.答案:C变式提升命题甲:“a,b,c成等差数列”是命题乙=2的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若a=b=c=0,则a,b,c也成等差数列,但推不出=2反过来由=2a+c=2b,即a,b,c成等差数列,故选A.类题演练2对任意实数a,b,c,给出下列命题:“a=b”是“
6、ac=bc”的充要条件“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件“ab”是“a2b2”的充分条件“a5”是“a3”的必要条件其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:中,当c=0时,ac=bc/a=b.故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故错误.中,“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件,故错误.正确.答案:B变式提升2已知条件p:x+y-2,条件q:x,y不都是-1,则p是q的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要解析:p:x+y-2,q:x-1或y-1.p:x+y=-2,q:x=-1且y=-1.qp,但p/q.p是q的充分且不必要条件,选A.类题演练3证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0证明:充分性:若ac0且0,x1x2=0ac1+m或x0,由|1-|2得-2x10,p:B=x|x10或x-2.p是q的必要而不充分条件,AB解得m9.1