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1、16.3二次根式的加减 教材分析本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的实数的运算律对二次根式的运算仍然适用结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算 教学目标1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；2. 会进行二次根式的加减运算3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.6. 通过学习二次
2、根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力 教学重难点1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 课前准备 课件 教学过程第一课时一、 复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将，化为最简二次根式吗？问题2：现有一块长7.5dm,宽5dm的木板,能否采用如图的方式,在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板? 提问:大、小正方形木板的边长分别为dm和dm,木板是否够宽?木板是否够长呢?怎样计算的结果呢?问题3：计算下列各式：（1）a+2a；（2）3x-2x；解：（1）a+2a
3、=(1+2)a=3a；（2）3x-2x=(3-2)x=x；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备.二、新课讲解：1.探究二次根式的加法.问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：（1） ；（2）.解：（1）；（2） .【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变.问题5：能合并吗？为什么？呢？解：不能合并，因为它们被开方数不相同；.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：首先将二次根式化成最简二次根式；观察被开方数是否相同.（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
4、练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A与 B与 C与 D与练习:2：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？（1） ；（2） ；（3） .解：（1）和的被开方数不相同，不能合并,故错误.（2） ，故，故错误；（3） ，故正确.点拨化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并.2.二次根式加法的运用.问题7：（教材例题）计算：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2） ；（3） ；（4） .练习3：（教材P13练习2）计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）；（2）；（3）；（4）； 问题6：前面问题2中，怎样计算的结果呢?木板长7.5
5、dm,宽5dm，是否够长？解：=化为最简二次根式=乘法分配率=7.077.5故木板够长.练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.12，求圆环的宽度d（取3.14，结果保留小数点后两位）.解：S圆=r2，d=r大圆-r小圆=0.83答：圆环的宽度d为0.83.三、 课堂小结：1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.（2） 二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；合并被开方数相同的最
6、简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.3. 二次根式加减运算的步骤：去括号；化简；判断并合并4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算二次根式的乘除法二次根式的加减法系数系数相乘除系数相加减被开方数被开方数相乘除被开方数不变化简结果化成最简二次根式先化成最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式(同类二次根式)四、 随堂测试：1.下列各式计算正确的是 ()A. B. C. D.解析:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.应为，故错误；D.，故正确.故选D.2.以下二次根式:,中, 化简后能
7、合并成一项的是()A.和B.和 C.和D.和解析：；.3. 计算：的值是（ ）A.2 B.3 C. D.2解析：.4. 一个等腰三角形的两边长分别为, 则三角形的周长为 .解析：分两种情况讨论：（1）当为腰长，为底边长时，周长为；（2） 当为腰长，为底边长时，周长为.5. 若最简二次根式 与的被开方数相同,则a= .解析：由题意得4a2+1=6a2-1，解得a=1.6. 计算：（1）；（2）.第二课时一、 复习引入：1. 计算：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2） ；（3）.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备.2. 计算：（1）(2x-y)zx；（2）
8、(2x2y+3xy2)xy；（3）(2x+y)(x-3y)（3） (2x+3y)(2x-3y);（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)zx=2x2z-xyz；（2） (2x2y+3xy2)xy=2x2yxy+3xy2xy=2x+2y；（3） (2x+y)(x-3y)=2x2-6xy+xy-3y2=2x2-5xy-3y2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x2+4x+1+4x2-4x+1=8x2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项
9、式法则和平方差、完全平方公式.【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算.二、 新课讲解：问题1：如果把上面的x，y，z改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.（教材P14例题3）计算：（1）；（2）.解：（1）=；（2）=.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率.练习1：（教材P14练习1）计算：（1）；（2）；解：（1）=；（2）=.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式.问题2.（教材P14面例4）例2. 计算：（1）；（2）.解：（1）=；（2）=5-3
10、=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算练习2：计算：（1）= ；（2） = .答案为：；6.练习3：计算的结果是（ ）A. B. C. D.练习3 计算：（1）；（2） ；（3）解：（1）=24-98=-74；（2）=；（3）=.练习4：已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求下面式子的值.解：由4x2+y2-4x-6y+10=0得到(2x-1)2+(y-3)2=0,2x-1=0,y-3=0.解得，x=，y=3.=当x=，y=3时，原式=.三、 课堂小结：师生
11、共同回顾本节课所学主要内容:关于二次根式的四则混合运算,实质上就是实数的混合运算.(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2)运算律仍然适用;(3)与多项式的乘法和因式分解类似,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是( )A. 与 B. 与 C. 与 D. 与【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同.2.计算：的结果是（ ）. A. B. C. D. 【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直接计算即可.3.若矩形相邻两边长分别是和 ，则它们的周长是 .【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）24. 计算：的结果是（ ）A. B. C. 6 D. 12【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】D【思路点拨】 5. 计算：【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【解析】原式= 教学反思略。
