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1、矩阵论第1章 线性空间和线性变换1.1线性空间一个数域F上的非空集合V，V的元素为a、b、c，定义两种运算，一种是V内元素的加法，一种是V内元素与F域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。实线性空间、复线性空间最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标，a=X，a=Y，=C，X=CYN维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关子空间：V中子集W，W的元素关于V中的线性运算仍然构成一个线性空间零空间N(A)=X|AX=0，列空间R(A)=LA1,A2,AN都是Fn的子空间交
2、空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1W2=0，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1W1，w2W2。1.2内积空间定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数复内积空间，酉空间两个向量在同一个基下不同的坐标X，Y，因此两个向量的内积通过坐标联系，并产生了一个矩阵A，（，）=YHAX，该矩阵A为共轭转置相等的矩阵，即Hermite矩阵，而正定的Hermite矩阵又成为Grame矩阵。正交补子空间正交夹角=acos(,)/|内积与矩
3、阵运算的转化：a=X=ixi，b=Y=iyi(a,b)=YHAX1.3线性变化T()，像与原像线性变换：加法和数乘零变换，把所有的向量变成零向量；恒等变换；微分变换是线性变换，而积分不是线性变换把线性相关组变成线性相关组，但不能保持线性无关性不变。两个或多个线性变换的乘积、和、数乘仍是线性变换，线性变换可逆。线性变换T在某基下的矩阵A，T与A一一对应。T=A向量的坐标X，T后的坐标Y，则Y=AX不变子空间：子空间W，T，T（）W正交变换：T为线性变换，若T不改变向量的内积，即（T（），T（）=（，），则T为内积空间上的正交变换，若空间为欧式空间，则称正交变换，若为酉空间，则为酉变换。正交变换=
4、保持向量长度不变=将标准正交基变为标准正交基正交矩阵行列式值为1，酉矩阵模长为1，正交矩阵C-1=CT、酉矩阵C-1=CH。T在某两组基下矩阵分别为A，B，Ti=iA，Ti=iB，i=iC，则B=C-1AC直和补子空间矩阵分割对角矩阵第2章 Jordan标准型2.1线性变换的对角矩阵表示T在某两组基下矩阵分别为A，B，Ti=iA，Ti=iB，i=iC，则B=C-1AC若线性变换T在某组基i下的矩阵A为对角阵diagi，即T（）=ii，则为特征值，特征向量i。任一组基i变换到i，有i=iX，T（）=iA=iAX=i=iX有AX=X，仍是特征量，X为A关于的特征向量，T的特征向量iX特征子空间：i
5、中极大线性无关组张成线性空间，为特征子空间，注意，该空间包括02.2Jordan矩阵的求法代数重数：特征值重根的数量；几何重数：同一个特征值对应特征向量的极大限线性无关数量。（1）、求|I-A|=0的特征多项式和特征值，相异的特征值分属不同的Jordan块，而某个特征值的重根数（代数重数）决定了该Jordan快的阶数（该Jordan块还包括若干子块）（2）、对每个不同的特征值i求特征向量，根据式（A-iI）X=0，求的最大线性无关向量组，如果是有代数重数的特征值，则无关组的个数（几何重数）决定了该特征值的分块数，注意，如果是无重根的特征值，则也是有可能有一个以上的特征向量（3）、若几何重数小于
6、代数重数，则根据递推式确定广义特征向量，直到递推过程不相容。(A-iI)1=0(A-iI)2=1(A-iI)3=2（4）、上述特征向量和广义特征向量构成Jordan链，组成可逆矩阵P，有JA=P-1AP2.3最小多项式矩阵多项式：矩阵为元素代入多项式，进行多项式运算多项式矩阵：矩阵内元素为多项式A和g（A）：特征值相同，A的相似阵B，有P-1AP=B，则g(A)也相似于g(B)，有P-1g（A）P=g(B)，若A为对角阵，则g（A）也为对角阵。，则化零多项式：矩阵A或线性变换T代入运算为零的多项式，如A的特征多项式f（）最小多项式mT：化零多项式中，次数最小，首项系数为1.最小多项式与特征多项
7、式具有相同的根，最小多项式在T或A的某特征根上的阶次与T或A的Jordan标准型在某特征根上最高的Jordan子块阶数相同，注意，是子块的最高阶数，而不是几何重数或代数重数，几何重数决定了同一特征根的Jordan块的分块数几何重数的判断：A为n阶，i，rank（A-i）=r，几何重数=n-r，i对应n-r个Jordan分块第三章 矩阵分解3.1 常见矩阵标准型和矩阵分解等价标准型，A为矩阵，不一定是方阵，P、Q可逆相似标准型，A为n阶方阵3.1.1 矩阵的三角分解采用Gauss消元法，通过初等变换，进行LU和LDV分解。通过左乘进行行初等变换。LU分解：，下三角上三角LDV分解：对角线元素为1
8、的下三角和上三角，以及对角阵。LU和LDV的分解一般不唯一。若A的顺序主子式都不为零，则LDV分解唯一。满秩分解(LU)矩阵和增广矩阵初等行变换高斯肖元：A|EU|P，PA=U，A=P-1U初等变换中：行变换对应左乘，列变换对应右乘，如上，有PA3.1.2 矩阵的满秩分解mn阶矩阵A分解成列满秩矩阵B和行满秩矩阵C：A=BC。A秩r，则B为mr阶，C为rn阶。同样构建增广矩阵进行初等变换，即PAQ左乘行变换，右乘列变换。或将A进行初等变换求出阶梯矩阵第三种方法使用Hermite标准型，即每一行首个非零元素为1，且该列其它元素为零，阶梯型矩阵。根据Hermite标准型，取行首非零元素1所在的列对
9、应到A中列向量，构成B，而Hermite标准型中所有非零行构成C。3.1.3 对角化谱分解A的特征值既是A的谱谱分解：依照特征值，把相似矩阵相似成的对角矩阵分解为矩阵和A=P-1DP，所有Qi之和为单位矩阵，Qi还是幂等矩阵3.2 Schur分解与正规矩阵正交矩阵C-1=CT、酉矩阵C-1=CH, 正交相似、酉相似实对称，共轭转置对称的Hermite矩阵实对称矩阵正交相似于对角阵A=CDCT，而Hermite矩阵酉相似对角阵A=UDUH。任意方阵都能相似与他的Jordan标准型方阵A可逆，其列向量组构成矩阵空间的一组基，进行Schur正交化可得标准正交基，i=iR=UR，其中R为上三角矩阵，U
10、为酉矩阵。Schur分解：对任意n阶方阵A，存在A=PJP-1，P可逆则有P=UR，有A=URJR-1UH= UTUH。即任意n阶方阵A都能酉相似一个上三角阵T，且该三角阵的主对角线元素全为A的特征值，当n阶方阵为正规矩阵时，酉相似一个对角阵。正规矩阵：n阶方阵A，有AAH=AHA。常见的正规矩阵有对角阵、对称与反对称矩、Hermite与反Hermite矩阵、正交矩阵酉矩阵A为正规矩阵的充分必要条件是：A酉相似与对角矩阵D3.3 矩阵的奇异值分解A为mn阶矩阵，新矩阵AHA或AAH都是Hermite矩阵，从而也是正规矩阵，他们的特征是记为i，则就是矩阵A的奇异值，或称奇值。AHA或AAH的秩与
11、A的秩相等，AHA或AAH的非零特征值相等，都是半正定矩阵，即特征值0.若A为方阵，则概述奇异值相关不一定成立。正规矩阵A的奇异值为其特征值的模，正定的Hermite矩阵的奇异值为其特征值，酉等价的矩阵其奇异值也相等。奇异值分解：任意矩阵A，秩r，存在酉矩阵U和V，有，其中为A的奇异值组成的正定的对角阵。奇异值分解中U和V不唯一。MATLAB中为svd函数。第四章 矩阵的广义逆Moore-Penrose广义逆4.1 左逆与右逆A存在左逆矩阵B，BA=I，A左可逆列满秩AHA可逆存在右逆矩阵，有可逆行满秩AAH可逆如果矩阵存在左逆或者右逆，则左逆或右逆矩阵不惟一4.2广义逆矩阵减号广义逆/1-逆
12、：对任意矩阵A，若AGA=A，则G为A的一个减号广义逆，记为A-，A的全部广义逆的集合记为A1。减号广义逆不唯一。减号广义逆求法：，则PAQ=，减号广义逆G=，uvw任意。秩A=秩A-，AA-和A-A都是幂等矩阵Moore-Penrose广义逆/加号广义逆：对任意矩阵A，若AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H=GA，则称G为A的MP广义逆。A和G互为减号广义逆，AG或者GA是Hermite矩阵。对任意矩阵都存在，且MP广义逆唯一求MP广义逆，先从A的BC分解即满秩分解开始：列满秩阵行满秩阵；或从奇异值分解开始。MP广义逆性质：，第五章 矩阵分析5.1 向量范数范数：满足正定性、
13、齐次性和三角不等式的就是范数P范数向量范数是向量坐标的连续函数，有限维线性空间中不同种类的范数实际上是等价的。范数等价：两种范数|A|(1)，|B|(2)，c1、c20，有5.2 矩阵范数的概念矩阵A，与Fnn上非负实值函数|A|，满足正定性 |A|0， 当且仅当A=0时|A|=0齐次性 |A|=|A|三角不等式 |A+B|A|+|B|相容性 |AB|A|B|（对应矩阵的乘法，向量范数的定义中则没有此项）则|A|称为矩阵A的范数。Frobenius范数/F范数：范数相容：若向量范数|x|和矩阵范数|A|存在关系|Ax|A|x|，定义表明这种关系并不一定满足。诱导范数：定义矩阵的一种范数|A|=
14、max|Ax|/|x|，则|A|为|x|所诱导的诱导范数。由|x|p诱导的诱导范数：|A|1，列和范数，max（|xi|），所有列和的最大值|A|2，谱范数，2=，是AHA的最大特征值|A|，行和范数，max（|xj|），所有行和的最大值5.3 矩阵序列的极限向量序列收敛向量序列x(k)或者矩阵序列A(k)存在向量或矩阵A，使k时，有| x(k)-A|0，或| A(k)-A|0则称向量序列或矩阵序列按向量/矩阵范数收敛于/A由于范数实际上是相互等价的，因此，尽管范数的具体值不同，但敛散性却是一致的。5.4 矩阵幂级数矩阵A的特征值i，则(A)=max|i|为A的谱半径，实际上相当于A的奇异值的模。(Ak)= (A)k ，A的谱半径是A的任意一种范数的下确界：(A)|A|，(A)+|A|矩阵幂级数的敛散性：若复变量幂级数的收敛半径R，当(A)R，则对应的矩阵幂级数收敛。5.5 矩阵函数矩阵函数f（A）：f(z)是复变量的解析函数，若其收敛半径为R，A的谱半径R，则f(A)矩阵函数必须是收敛的。矩阵函数的计算：将对应的复变量函数泰勒展开，应用
