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1、第三讲最短距离问题一、知识梳理几何模型1条件：如图，、就是直线同旁得两个定点。问题:在直线上确定一点，使得值最小。方法：作点关于直线得对称点，连结交于点，则得值最小几何模型2条件:如图，、就是直线异侧得两个定点且A、B到距离不相等问题:在直线上确定一点，使得值最大方法：作点关于直线得对称点，连结交于点，则得值最小、方法归纳对于几何模型1,近年来，除了常见得“一个动点”外，出现了“两个动点”、“三个动点”等变式问题得问题，而解决此类问题得关键在于：找点关于线得对称点，实现“折”转“直”对于几何模型2,近年出现得中考题都就是直接应用。三、课堂精讲例题（一）、题中出现一个动点。例1、在正方形ABCD
2、中，点E为BC上一定点，且EE=10，CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。【难度分级】A类1试题来源经典例题1选题意图使学生掌握几何模型1得应用1解题思路作关于对称点，可以证明在上易求解：作关于对称点四边形ABCD就是正方形在上，且即就是得最小值(1) 【搭配课堂训练题】1、已知：抛物线得对称轴为X=1与轴交于两点,与轴交于点其中、求这条抛物线得函数表达式已知在对称轴上存在一点P,使得得周长最小、请求出点P得坐标【难度分级】A类试题来源2009年山东济南中考真题。答案解：(1)由题意得解得此抛物线得解析式为(2)连结、因为得长度一定，所以周长最小，就就是使最小。点关于对称轴得对称
3、点就是点设直线得表达式为则解得此直线得表达式为把代入得点得坐标为例2:已知：直线与轴交于A,与轴交于D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).(1)求抛物线得解析式；(2)在抛物线得对称轴上找一点M,使得值最大，求出点M得坐标.【难度分级】A类试题来源2009眉山中考数学真题选题意图使学生掌握几何模型2得应用解题思路直接应用几何模型2,由于E就是C关于对称轴得对称点,所以连接AB,则AB与对称轴得交点M即为所求、(1)将A(0,1)、E(1,0)坐标代入得解得抛物线得解折式为(2)抛物线得对称轴为TB、C关于x=对称MC=MB要使最大，即就是使最大(二) 由三
4、角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时得值最大易知直线AB、题中出现两个动点。例3、如图：在AABC中,M、N分别AB,AC上动点，求EN+MN+MC最小值【难度分级】B类姚中学保送生测试题试题来源2003年浙江余1选题意图使学生体会如何实现由“折”转“直”掌握双动点问题得解题方法解题思路当题中出现两个定点与两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线得对称点、利用两点之间线段最短求出最值、解：作关于对称点，关于对称点，有(当、运动到、时等号成立),为正三角形【搭配课堂训练题】1、恩施州自然风光无限，特别就是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名得恩施大峡谷与世界级自然保护区星斗山位于
5、笔直得沪渝高速公路同侧，、到直线得距离分别为与，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客小民设计了两种方案，图9就是方案一得示意图(与直线垂直，垂足为)，至U、得距离之与，图10就是方案二得示意图(点关于直线得对称点就是，连接交直线于点)，至U、得距离之与、(1)求、，并比较它们得大小；(2)请您说明得值为最小；(3)拟建得恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11所示得直角坐标系，到直线得距离为，请您在旁与旁各修建一服务区、，使、组成得四边形得周长最小并求出这个最小值、【难度分级】E类试题来源2009年湖北恩施自治州中考真题。答案解：图9中过B作EC丄AP，垂足为C，则P
6、C=40，又AP=10，AC=30在RtABC中，AB=50AC=30BC=40BP=S=图10中，过B作BC丄AA垂足为C，则AC=50，又BC=40z.BA/=由轴对称知：PA=PAS2=BA/(2)如图10,在公路上任找一点M,连接團2MA,MB,MA,由轴对称知MA=MA/MB+MA=MB+MAAS2=BA为最小(3)如图12,过A作关于X轴得对称点A,过B作关于Y轴得对称点B：连接AzB,交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求AzB=所求四边形得周长为例4、如图,矩形ABCD中，AB=20,BC=10,若AC,AB就是各有一个动点M,N,求BM+MN最小值。【难度分级】B类试题
7、来源经典例题选题意图使学生体会如何实现由“折”转“直”使学生掌握，在由“折”转“直得过程中，如何做到最短、1解题思路解：作关于得对称点，在上运动，当运动到时，即，最短为【搭配课堂训练题】如图，在锐角中”得平分线交于点分别就是与上得动点，则得最小值就是_.【难度分级】B类试题来源2009年陕西省中考真题。答案4(三) 、题中出现三个动点时例5、如图，在菱形ABCD中，AB=2,/BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点，求PE+PF最小值【难度分级】B类试题来源经典例题选题意图使学生体会如何实现由“折”转“直”掌握三动点问题得解题方法解题思路当题中出现三个动点时，在求解时应注意两点,
8、(1)作定点关于动点所在直线得对称点,(2)同时要考虑点点，点线,线线之间得最短问题。解:作关于所直线得对称点，则，因为在上运动，故当与、垂直时，最短,且【搭配课堂训练题】12.如图，ZAOB=45,角内有一动点P,PO=10,在AO,BO上有两动点Q,R,求厶PQR周长得最小值。试题来源经典例题、答案在内任取一点，过做、得对称点、则有由对称性易知为等腰三角形又因为，所以为等腰直角三角形在中”所以得最小周长为：(四) 、综合压轴例6、如图，四边形ABCD就是正方形，AABE就是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连接EN、AM、CM。求证:AM
9、BAENB;当M点在何处时，AM+CM得值最小当M点在何处时，AM+BM+CM得值最小，并说明理由当AM+BM+CM得最小值为时,求正方形得边长.【难度分级】C类试题来源2010福建宁德中考真题选题意图强化应用解题思路(1)由题意得MB=NB,/ABN=15,所以/EBN=45,容易证出厶AMBENB;根据“两点之间线段最短,可得，当M点落在BD得中点时，AM+CM得值最小；根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE得交点处时，AM+BM+CM得值最小,即等于EC得长(如图18)；作辅助线，过E点作EF丄BC交CB得延长线于F,由题意求出/EBF=30,设正方形得边长为X,在REFC中,根
10、据勾股定理求得正方形得边长解：ABE就是等边三角形，BA=BE,ZABE=60。/MBN=60, ZMBNZABN=ZABEZABN。即ZMBA=ZNBE、又MB=NB, AMB也厶ENB(SAS)、当M点落在BD得中点时，AM+CM得值最小。如图，连接CE,当M点位于BD与CE得交点处时，AM+BM+CM得值最小、理由如下：连接MN。由知，AMBENB, AM=EN。vZMBN=60,MB=NB,BMN就是等边三角形. BM=MN。 AM+BM+CM=EN+MN+CM。根据“两点之间线段最短,得EN+MN+CM=EC最短当M点位于BD与CE得交点处时，AM+BM+CM得值最小，即等于EC得长
11、过E点作EFBC交CE得延长线于F,/ZEBF=9060=30。设正方形得边长为x,则BF=x,EF=.在RtEFC中,222/EF+FC=EC,22()+(x+x)=o解得,X=(舍去负值)、正方形得边长为。【搭配课堂训练题】1、如图,在平面直角坐标系中,AABC三个顶点得坐标分别为图19,延长AC到点D，使CD=，过点D作DE/AB交BC得延长线于点E.(1) 求D点得坐标;作C点关于直线DE得对称点F,分别连结DF、EF,若过B点得直线将四边形CDFE分成周长相等得两个四边形，确定此直线得解析式；设G为y轴上一点，点P从直线与y轴得交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y
12、轴上运动得速度就是它在直线GA上运动速度得2倍,试确定G点得位置，使P点按照上述要求到达A点所用得时间最短。(要求：简述确定G点位置得方法，但不要求证明)【难度分级】C类试题来源2009北京中考真题答案解：(1)T,设与轴交于点由可得、同理可得.点得坐标为、(2)由(1)可得点得坐标为.由，可得轴所在直线就是线段得垂直平分线点关于直线得对称点在轴上。与互相垂直平分。、四边形为菱形，且点为其对称中心。(2) 作直线设与分别交于点、点可证直线将四边形分成周长相等得两个四边形、由点，点在直线上，可得直线得解析式为、确定点位置得方法：过点作于点。则与轴得交点为所求得点。由，可得，。在中，点得坐标为(或
13、点得位置为线段得中点)四、巩固练习基础训练题(A类)1如图，AC、ED为正方形ABCD对角线，相交于点0,点E为BC边得中点，正方形边长为2cm,在ED上找点P,使EP+CP之与最小,且最小值为_。【答案】2、(1)如图22,等腰直角三角形ABC得直角边长为2,E就是斜边AE得中点，P就是AC边上得一动点，则PB+PE得最小值为(2)几何拓展：如图23,AEC中，AB=2,/BAC=30,若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN得值最小，这个最小值为；【答案】1、2、3、如图所示,正方形得面积为12,就是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使得值最小，则这个最小值为()A.B.Co3
14、D、【答案】A4、已知直角梯形ABCD中,AD/BC,AB丄BC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动，C、D、3【答案】C则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上得高为()提高训练(B类)1、如图，在直角坐标系中，点A得坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120,得到线段OBo(1)求点B得坐标；(2)求经过A、O、B三点得抛物线得解析式(3)在(2)中抛物线得对称轴上就是否存在点C,使厶BOC得周长最小？若存在，求出点C得坐标；若不存在，请说明理由。(注意：本题中得结果均保留根号)中,ZODB=90。,ZOBD=30、【解析】:(1)过点E作ED丄轴于点D,由
15、已知可得：0B=OA=2,ZBOD=60。、在RtOBDOD=1,DB=点B得坐标就是(1,)。(2) 设所求抛物线得解析式为，由已知可得解得：(3) 所求抛物线解析式为存在.由配方后得：抛物线得对称轴为=-1.(也写用顶点坐标公式求出)/OB=2,要使BOC得周长最小，必须BC+CO最小。点O与点A关于直线=1对称，有CO=CA。 BOC得周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA。 当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴得交点时，BC+CA最小,此时BOC得周长最小。设直线AB得解析式为解得：直线AB得解析式为当=-1时，所求点C得坐标为(1,).2、如图，抛物线得顶点P得坐标为，交x轴
