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1、 扬州中学高三数学暑假自主测试试卷（2） 2013.8参考公式：1锥体体积公式，其中S为底面积，h为高 2正棱台侧面积公式 ，其中分别为上下底面周长，为斜高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1.抛物线的焦点坐标是 2. 一质点运动的方程为（位移单位：，时间单位：），则该质点在的瞬时速度是 / 3.命题“，”的否定是 4.设是正方体的一条棱，则这个正方体中与垂直的棱共有 条5. “”是“直线和直线平行”的 条件（用“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充分必要”、 “既不充分也不必要”之一填空） 6. 从圆外一点向圆引切线，则切线长为 7.
2、 已知双曲线过点，且与椭圆有相同焦点，则双曲线的标准方程为 8. 一个正三棱台两个底面的边长分别为和18，侧棱长为13，则它的侧面积为 9. 椭圆的右焦点为，右准线为，若过点且垂直于轴的弦的弦长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 10. 设为两个不重合的平面，是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若相交且不垂直，则不垂直；若，则n；若，则其中所有真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）11.函数的单调递增区间是 12. 已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则三棱锥PABC的体积为 13函数的图像经过四个象限，则的取值范围是 14满足条
3、件，的三角形的面积最大值是 二、解答题：本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15. （本题满分14分）已知圆心为的圆经过三个点，（1）求圆的方程；（2）若直线的斜率为，且直线l被圆C所截得的弦长为4，求直线l的方程16. （本题满分14分）CB1C1EFDA1AB如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上， ，求证：（1）平面；（2）平面平面17（本题满分14分）已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点，圆 与x轴交于两点（1）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；（2）过M点作直线与圆相切于点，设（2）中椭圆
4、的两个焦点分别为,求三角形面积18（本题16分）如图，有一块抛物线形状的钢板，计划将此钢板切割成等腰梯形 的形状，使得都落在抛物线上，点关于抛物线的对称轴对称且，抛物线的顶点到底边AB的距离是，记，梯形面积为以抛物线的顶点为坐标原点，其对称轴为轴，建立平面直角坐标系（1）求出钢板轮廓所在抛物线的方程；（2）求面积关于的函数解析式，并写出其定义域；（3）求面积的最大值 19（本题满分16分）已知函数的导函数的图象关于直线对称（1）求的值；（2）若函数无极值点，求的取值范围；（3）若在处取得极大值，记此极大值为，求的定义域和值域 20（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左焦
5、点为，过原点的直线交椭圆于两点，面积的最大值为(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆上异于顶点的三点，是单位圆上任一点，使求证：直线与的斜率之积为定值；求的值 附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. （本题满分10分）求函数在点处的切线方程22. （本题满分10分） 设A、B分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为C，求轨迹C的方程|科|网Z|X|X|K23. （本题满分10分）如图，四棱锥中，为矩形,，且，（），为上一点，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值24.（本题满分10分）已知动点M到定点F(1，0)的距离比M到定直线x=2的距离小1（1）求证：M点的轨
6、迹是抛物线，并求出其方程；（2）我们知道：“过圆上任意一点P，任意作互相垂直的弦PA、PB，则弦AB必过圆心”（定点）受此启发，研究下面问题：对于抛物线上某一定点P（非顶点），过P任意作互相垂直的弦PA、PB，弦AB是否经过定点？ 高 二 数 学 参考答案 一、填空题(每小题5分，共计70分)1263，485充分不必要627 691011121314 二、解答题15. （本题满分14分）（1）设圆的一般方程为，因为点在所求的圆上，故有 4分解得 故所求圆的方程是 7分（2）由（1）圆的标准方程为，所以圆C的圆心为(1，2)，半径为， 9分记圆心C到直线的距离为，则，即。 11分设的直线方程为，
7、则， 12分即，所以或3，所以的直线方程为或 14分16. （本题满分14分）证明：（1）因为分别是的中点，所以， 4分又平面，平面，所以平面； 7分（2）因为直三棱柱，所以平面，平面，所以， 9分又且，所以平面，12分又平面，所以平面平面 14分17（本题满分14分）解：（1）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，根据椭圆与圆的对称性，则或 2分当时，所求椭圆方程为； 4分当时，所求椭圆方程为 6分（2）设切点为N，则由题意得，在中，则，ABOMyxll2NN点的坐标为， 8分若椭圆为其焦点F1，F2，分别为点A，B故，11分若椭圆为，其焦点为，此时 14分18（本题满
8、分16分）（1）设钢板轮廓所在抛物线的方程为：，2分由图得抛物线过点，代入，得，所钢板轮廓所在抛物线的方程为 4分（2）由，故可设，梯形高为，梯形的面积， 8分又由得，故其定义域为10分（3）由（2）知，令得， 12分列表如下：+0极大值由上表知面积在时取到极大值，又在只有一个极值点，故极大值也为最大值，此时 14分19（本题满分16分）（1）.因为函数的图象关于直线对称，所以，于是 3分（2）由（1）知，若无极值点，则，即 6分（3）由（2）知，当时，有两个互异实根，不妨设，则 当时， 在区间内为增函数； 当时，在区间内为减函数；当时，在区间内为增函数 所以在处取极大值，在处取极小值 9分因
9、此，当且仅当时，函数在处存在唯一极大值，所以，于是的定义域为 11分由 得，于是， . 13分，当时，所以函数在区间内是减函数，当时，函数在区间内是增函数，又当时，且，故的值域为 16分20（本题满分16分）(1)由椭圆的离心率为，得，又面积，所以，由及可解得：，故椭圆的方程是 4分 (2) 设，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，又，因，故 因在椭圆上，故 8分整理得将代入上式，并注意点的任意性，得：所以，为定值 12分，故 14分又，故所以=316分21（本题满分10分）解：， 4分所以 7分故切线方程为：，即： 10分22（本题满分10分）解：设，因为分别是直线和上的点，故可设，又，所以， 4分因为，所以有即 8分所以，即曲线的方程为 10分23（本题满分10分） 由题意两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，如图所示则： ，（1）因为所以，又，平面 5分 (2)由（1），可取为平面的一个法向量又因为，设平面的一个法向量为，则即可取， 8分所以 观察知二面角为锐角，所以所求的二面角的余弦为 10分24（本题满分10分）（1）设M（x，y）到定直线x=2的距离为d，若，则MFd，不符题意，所以点M在直线x=2的的右侧.
