《二次函数综合动点及三角形问题方法及解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数综合动点及三角形问题方法及解析（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-二次函数综合动点与三角形问题一、知识准备：抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成*些特殊三角形，有以下常见的根本形式。1抛物线上的点能否构成等腰三角形；2抛物线上的点能否构成直角三角形；3抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的根本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。二、例题精析【抛物线上的点能否构成等腰三角形】例一2021地区如图，直线y=3*3分别交*轴、y轴于A、B两点，抛物线y=*2+b*+c经过A、B两点，点C是抛物线与*轴的另一个交点与A点不重合1求抛物线的解析式；2求ABC的面积；3在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使
2、ABM为等腰三角形.假设不存在，请说明理由；假设存在，求出点M的坐标分析：1根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；2由1求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；3根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为1，m，分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA，求出m的值后即可得出答案解：1直线y=3*3分别交*轴、y轴于A、B两点，可得A1，0，B0，3，把A、B两点的坐标分别代入y=*2+b*+c得：，解得：抛物线解析式为：y=*2+2*32令y=0得：0=*2+2*
3、3，解得：*1=1，*2=3，则C点坐标为：3，0，AC=4，故可得SABC=ACOB=43=63抛物线的对称轴为：*=1，假设存在M1，m满足题意：讨论：当MA=AB时，解得：，M11，M21，；当MB=BA时，解得：M3=0，M4=6，M31，0，M41，6，当MB=MA时，解得：m=1，M51，1，答：共存在五个点M11，M21，M31，0，M41，6，M51，1使ABM为等腰三角形点评：此题考察了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解【抛物线上的点能否构成直角三角形】例二2021如图，一次函数y=0.5*
4、+2的图象与*轴交于点A，与二次函数y=a*2+b*+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=a*2+b*+c的图象与*轴只有唯一的交点C，且OC=21求二次函数y=a*2+b*+c的解析式；2设一次函数y=0.5*+2的图象与二次函数y=a*2+b*+c的图象的另一交点为D，P为*轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标考点：二次函数综合题分析：1根据y=0.5*+2交*轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=a*2+b*+c的图象与*轴只有唯一的交点C，且OC=2得出可设二次函数y=a*2+b*+c=a*22，进而求出即可；2根据当B为直角顶点，当D为直角顶
5、点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可解答：解：1y=0.5*+2交*轴于点A，0=0.5*+2，*=4，与y轴交于点B，*=0，y=2B点坐标为：0，2，A4，0，B0，2，二次函数y=a*2+b*+c的图象与*轴只有唯一的交点C，且OC=2可设二次函数y=a*22，把B0，2代入得：a=0.5二次函数的解析式：y=0.5*22*+2；2当B为直角顶点时，过B作BP1AD交*轴于P1点由RtAOBRtBOP1=，=，得：OP1=1，P11，0，作P2DBD，连接BP2，将y=0.5*+2与y=0.5*22*+2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：5，4.5，则AD=
6、，当D为直角顶点时DAP2=BAO，BOA=ADP2，ABOAP2D，=，=，解得：AP2=11.25，则OP2=11.254=7.25，故P2点坐标为7.25，0；当P为直角顶点时，过点D作DE*轴于点E，设P3a，0则由RtOBP3RtEP3D得：，方程无解，点P3不存在，点P的坐标为：P11，0和P27.25，0点评：此题主要考察了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据进展分类讨论得出所有结果，注意不要漏解【抛物线上的点能否构成相似三角形】例三2021州如下列图，直线l：y=3*+3与*轴交于点A，与y轴交于点B把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点
7、B、C和D3，01求直线BD和抛物线的解析式2假设BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标3在抛物线上是否存在点P，使SPBD=6.假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：1由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式；2首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，所以BND也是等腰直角三角形如答图1所示，符合条件的点N有3个；3如答图2、答图3所示，解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD=6的条件，列出一元二次方程求解解答：解：1直线l：y=3*+3与*轴交于点A，与
8、y轴交于点B，A1，0，B0，3；把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，C1，0设直线BD的解析式为：y=k*+b，点B0，3，D3，0在直线BD上，解得k=1，b=3，直线BD的解析式为：y=*+3设抛物线的解析式为：y=a*1*3，点B0，3在抛物线上，3=a13，解得：a=1，抛物线的解析式为：y=*1*3=*24*+32抛物线的解析式为：y=*24*+3=*221，抛物线的对称轴为直线*=2，顶点坐标为2，1直线BD：y=*+3与抛物线的对称轴交于点M，令*=2，得y=1，M2，1设对称轴与*轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相
9、似，BND为等腰直角三角形如答图1所示：I假设BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N10，0；II假设BD为直角边，B为直角顶点，则点N在*轴负半轴上，OB=OD=ON2=3，N23，0；III假设BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，OB=OD=ON3=3，N30，3满足条件的点N坐标为：0，0，3，0或0，33假设存在点P，使SPBD=6，设点P坐标为m，nI当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE*轴于点E，则PE=n，DE=m3SPBD=S梯形PEOBSBODSPDE=3+nm33m3n=6，化简得：m+n=7 ，Pm，n在抛物线上，n=m24m+3，代入式
10、整理得：m23m4=0，解得：m1=4，m2=1，n1=3，n2=8，P14，3，P21，8；II当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PEy轴于点E，则PE=m，OE=n，BE=3nSPBD=S梯形PEOD+SBODSPBE=3+mn+333nm=6，化简得：m+n=1 ，Pm，n在抛物线上，n=m24m+3，代入式整理得：m23m+4=0，=70，此方程无解故此时点P不存在综上所述，在抛物线上存在点P，使SPBD=6，点P的坐标为4，3或1，8点评：此题是中考压轴题，综合考察了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考察了数
11、形结合、分类讨论的数学思想第23问均需进展分类讨论，防止漏解三、形成训练12021湘西州如图，抛物线y=*2+b*+4与*轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，假设A点的坐标为A2，01求抛物线的解析式及它的对称轴方程；2求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；3试判断AOC与COB是否相似.并说明理由；4在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形.假设不存在，求出符合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：1利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式*=求出对称轴方程；2在抛物线解析式中，令*=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出
12、点B坐标再利用待定系数法求出直线BD的解析式；3根据，AOC=BOC=90，可以判定AOCCOB；4本问为存在型问题假设ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，防止漏解解答：解：1抛物线y=*2+b*+4的图象经过点A2，0，22+b2+4=0，解得：b=，抛物线解析式为 y=*2+*+4，又y=*2+*+4=*32+，对称轴方程为：*=32在y=*2+*+4中，令*=0，得y=4，C0，4；令y=0，即*2+*+4=0，整理得*26*16=0，解得：*=8或*=2，A2，0，B8，0设直线BC的解析式为y=k*+b，把B8，0，C0，4的坐标分别代入解析式，得：，解得
13、k=，b=4，直线BC的解析式为：y=*+43可判定AOCCOB成立理由如下：在AOC与COB中，OA=2，OC=4，OB=8，又AOC=BOC=90，AOCCOB4抛物线的对称轴方程为：*=3，可设点Q3，t，则可求得：AC=，AQ=，CQ=i当AQ=CQ时，有=，25+t2=t28t+16+9，解得t=0，Q13，0；ii当AC=AQ时，有=，t2=5，此方程无实数根，此时ACQ不能构成等腰三角形；iii当AC=CQ时，有=，整理得：t28t+5=0，解得：t=4，点Q坐标为：Q23，4+，Q33，4综上所述，存在点Q，使ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q13，0，Q23，4+，Q33，4点评：此题考察了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点难点
