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1、专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直-、知识点1线面垂直性质定理2线面垂直判定定理3面面垂直性质定理2面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1.如图1，在正方体 一F中，凶为凹的中点，AC交BD于点0,求证：平面MBD.证明：连结M0,1 ,/ DB丄凹,DB丄 AC,1 1 DB丄平面，而平面 - DB丄凹.设正方体棱长为习，那么HJ，回.在Rt上|中， HJ .0M n DB=0,.凹 丄平面 MBD .评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2 .如图2,凶是厶ABC所在平面外的一点， 且PA
2、丄平面 ABC,平面PACL平面PBC.求 证：BC丄平面PAC证明：在平面 PAC作AD丄PC交PC于D.因为平面PACL平面PBC,且两平面交于 PC,上J平面PAC且AD丄PC,由面面垂直的性质，得AD丄平面PBC.又t EI 平面 PBC, AD丄 BC./ PA 丄平面 ABC, 一 平面 ABC,： PA丄 BC./ ADn PA=A,： BC丄平面 PAC评注：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直， 即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形 中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过此题可以看到，面面垂直
3、_J线面 垂直 -I线线垂直.般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直|线面垂直|面面垂直.这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理， 而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3 .如图1所示，ABCD为正方形，0丄平面 ABCD,过且垂直于-1的平面分别交1 一 丨，1 1I |于|.求证:证明：T 一平面ABCD,I |./|,EI平面SAB.又T上J 平面 SAB, 1.-3平面AEFG li平面SBC 亠 .同理可证 11.评注：此题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直
4、的转化中，平 面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.证明：取AB的中点F ,连结CF, DF.4. 如图2,在三棱锥 A BCD中，BC= AC, AD= BD, 作BE丄CD, E为垂足，作 AH丄BE于H.求证：AH丄平面BCD.L-=J , | -j 11 J，1又14 平面 CDF.凹平面CDF, 又壬I二I平面ABE,上J平面BCD.评注：此题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直.如此反复，直到证得结论.5. 如图3, 凹 是圆O的直径，C是圆周上一点，| 1 |平面ABC.假
5、设AE丄PC , E为垂 足，F是PB上任意一点，求证：平面 AEF丄平面PBC.证明： AB是圆O的直径，I 1 平面 ABC,平面 ABC, .丄J平面APC. E 平面 PBC,平面APC丄平面PBC/ AE丄 PC,平面 APCn 平面 PBC= PC, AE丄平面PBC.评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平平面AEF,.平面 AEF丄平面PBC.面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直那么需从条件出发寻找 线线垂直的关系.10.如图，在空间四边形 SABC中，SA平面ABC ABC = 90 , AN SB于N, AM SC于M。求 证：AN BCSC平面ANM分析：要
6、证 AN BC,转证,BC平面SABo要证 SC平面 ANM,转证，SC垂直于平面 ANM的两条相交直线，即证 SC AM,SC AN。要证SC AN,转证AN平面SBC就可以了。证明： SA平面ABC SA BC又 BC AB,且 AB耳SA= A BC平面SAB/ AN习平面SAB AN BC AN BC AN SB 且 SBBC = B AN平面SBC/ SCC平面 SBC AN SC又 AM SC 且 AM ILAN = A SC平面ANM例2如图9 40,在三棱锥 SABC中，S从平面ABC,平面SAB丄平面SBC图 9 401求证：AB丄BC;1【证明】作 AH SB于H,v平面
7、SABX平面SBC 平面 SABA平面SBC=SB / AH 丄平面SBC又SA丄平面 ABC, a SA丄BC,而SA在平面 SBC上的射影为 SB / BC丄SB,又SAA SB=S BC丄平面 SAB. a BC丄 AB.例3如图9 41, PA丄平面ABCD,四边形 ABCD是矩形，PA=AD=a M、N分别是 AB、PC的中点.求证：平面MND丄平面PCDE【证明】取PD中点E,连结EN, EA,那么EN CD AM,a四边形ENMA是平行四边 形， EA/ MN .AE丄 PD, AE丄 CD,a AE丄平面 PCD,从而 MN 丄平面 PCD, / MNTT 平面 MND, 平面
8、MND丄平面PCD.【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，此题中要证 MN丄平面PCD较困难，转化为证明AE丄平面PCD就较简单了 .另外，在此题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的围.例 4如图 9 42,正方体 ABCD-AiCiDi 中，E、F、M、N 分别是 A1B1、BC C1D1、 BiCi的中点.图 9 42 求证：平面 MNF丄平面 ENF.【证明】 M、N、E是中点,即MN丄EN,又NF丄平面AiCi ,1 * 1 MN丄NF,从而MN丄平面ENF.v MN三|平面MNF ,平面 MNF丄平面ENF.4.如图945,四棱锥 P ABCD的底面是边长为 a的
9、正方形，P从底面ABCD, E为 AB的中点，且PA=AB.图 9 451求证：平面 PCE1平面PCD 2求点A到平面PCE的距离.1【证明】PA!平面ABCD, AD是PD在底面上的射影，又四边形 ABCD为矩形， CD丄AD, CD丄 PD, / ADA PD=D. CD丄面 PAD, /-Z PDA 为二面角P CD B的平面角，/ PA=PB=AD PA丄 AD/.Z PDA=45,取 RtA PAD斜边 PD 的中点 F,那么 AF丄PD,v AF 面 PAD CD丄 AF,r又PDA CD=D AF丄平面 PCD,取PC的中点 G,连GF、AG、EG,那么 GFCD又AE-CD,
10、 GF AE四边形AGEF为平行四边形 AF/ EG, / EG丄平面PDC又EG -平面PEC 平面PECL平面PCD.2【解】由1知AF/平面PEC平面PCD丄平面PEC过F作FH丄PC于H ,那么 FH丄平面PEC FH为F到平面PEC的距离，即为 A到平面PEC的距离.在 PFH与厶PCD中，Z P 为公共角，x，设 AD=2，/ PF=-而Z FHP=Z CDP=90,/.A PFHA PCD./.PC=11EHJ0 FH= A到平面PEC的距离为【拓展练习】一、备选题1.如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，PA丄平面ABC.1求证：平面 PAC丄平面PBC;2假设D也是圆周上一
11、点，且与 C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直 的各对平面.1【证明】T C是AB为直径的圆0的圆周上一点，AB是圆0的直径 BC丄 AC;又PA!平面 ABC, BC巧平面ABC, BC丄PA 从而 BC丄平面 PAC./ BC |呵平面PBC平面PAC丄平面PBC.2【解】 平面PACL平面 ABCD;平面PACL平面 PBC平面PAD丄平面 PBD;平面PAB 丄平面 ABCD;平面PAD丄平面 ABCD.CC上的一点,2. ABC A B C是正三棱柱，底面边长为 a, D, E分别是BB,JBD= a, EC= a.1求证：平面 ADE丄平面 ACC A;2求截面 ADE的面
12、积.1【证明】分别取 A C、AC的中点M、N,连结MN , 那么 MN / A A/ B B, B、M、N、B 共面，T M 为 A C中点，B C=B A,.BB M 丄 AA 且 AA A A C =A B M 丄平面 A ACC.设MN交AE于P,M丄A C，又/ CE= AC,. PN= NA=.Y又 DB= a,. PN= BD./ PN/ BD,. PNBD是矩形，于是 PD/ BN, BN/ B M , PD/ B M ./ B M 丄平面 ACC A, PD丄平面ACC A，而 PD平面ADE,平面 ADE丄平面 ACC A.2【解】T PD丄平面ACC A,H PD丄AE,
13、而 PD= B M = a,AE= -1 a. & ADE=X AEX PD、练习题或筍垂直皐惡练目一. 定理填空,1. 直娃和平面垂直如果一枭直统和,就说这茶巨线和这个平面垂玄.2. 线面垂岂麴宦定理和性厲定理线面垂直判定定理，如果一条直践和f 平直虫曲茯長相空直线都至耳,那金这杀直线垂直 于这亍平血判定定理一如果悯第平匸线中的一苇一个平新，那幺判定定逗5 条亘线垂亘丁芮个呼行平百中的一个平面那业性肪定理3如果卿条百线同曲百.于一个平面*那么这两条目逢二、精把习題，1设M寺示平丽，旅b養示直线给出下列匹个命题：厂且 ； 十庄丄|H , d _ Zzf，一0丄 M =G：hMM 一 AIM.2丄Mjb丄站临丄bja 5 |E中正确的的题是()Afflji B.(igi c.g Difiij)如图所示，在正万形中，飮F分别是AE、EU的中层现在沿DE、DF及EF把2曲 L.CDF折皑便卫s & D三艰蚩总，亜含肩的点记为F那么，往四直体P- DEF中，必有 ()O第m懸图.即丄平面卩处丄平面平面DZlFD.PF丄平直DEF3. 设小力是异面頁线，下列命题1E确的是()扎过不在4力上的点P 定可以作一条直线和积6都相交H过希在“ b上的一蓝F定耳以作一个立血和积b都垂玄匚过宦可以作
