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1、例谈梯形中的常用辅助线 在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例1如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例2如图2，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。3、平移对角线：过梯形的一个顶
2、点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。例3如图3，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_ 例4如图4，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例5如图5，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。 【变式2】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADB
3、C. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，、为、的中点。三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例6如图6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例7如图7，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。图72、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一
4、个矩形。例8如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。【变式4】如图2-44所示ABCD是梯形， ADBC， ADBC，AB=AC且ABAC，BD=BC，AC，BD交于O.求BCD的度数【变式5】 如图2-45所示直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，ADC=135，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延长线于F，垂足为M求证：AD=BF【变式6】例如图2-46所示直角梯形ABCD中，C=90，ADBC，AD+BC=AB，E是CD的中点若AD=2，BC=8，求ABE的面积【变式7】（过顶点作高）已知AB=BC，ABCD，D=90，AEBC求证：CD=CE五、作中位线1、已
5、知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例9如图9，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例10如图10，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2） 【变式8】如图所示等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点求证：PQR是等边三角形【变式9】（过一腰中点作底边平行线构造中位线）已知梯形ABCD中，ADBC，ABC的平分线过CD的中点E3、在梯
6、形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例10、在梯形ABCD中，ADBC， BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求AEB=2CBE。【变式10】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，作法图形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形延长两腰，转化为三角形平移一对角线，转化为三角形、平行四边形连接一顶点与一腰的中点，构造全等三角形【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 若等腰梯形的锐角是60，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为_cm. 2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，则此等
7、腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22*3. 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，则梯形ABCD的面积为（ ）A. 130B. 140C. 150D. 160*4. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长. 6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 7. 如图所示，梯形ABCD中，ABCD，D2B，ADDC8，求AB的长. *8. 如
8、图所示，梯形ABCD中，ADBC，（1）若E是AB的中点，且ADBCCD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是ADC与BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：举一反三：【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O. 求证：. 说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.【变式2】如图，已知：AD是的平分线，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形. （2）若的周长为，求四边形ADCE的周长. 说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决【变式3】如图2-43所示在直角三角形ABC中，E是斜边AB上的中点，D是AC的中点，DFEC交BC延长线于F求证：四边形EBFD是等腰梯形1
