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1、 沪科版八年级数学下册知识总结第十六单元 二次根式二次根式知识点：知识点一： 二次根式的概念形如的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0时，没有意义。知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根，也就是说，是一个非负数，即0。注：因为
2、二次根式表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数的算术平方根是非负数，即0，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。知识点四：二次根式的性质文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：假设，那么，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是
3、正数还是负数，假设是正数或0，那么等于a本身，即；假设a是负数，那么等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值围可以是任意实数，即不管a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进展化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差异的，而2、一样点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、aa0、x+y 等； 含
4、有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、x+y2、x2+2xy+y2等 3最终结果分母不含根号。 满足最简二次根式的条件：1被开方数的因数是整数，因式是因式是整式。2被开方数不含能开的尽方的因数或因式。知识点八：二次根式的乘法和除法1.积的算数平方根的性质 ab=aba0，b0 2. 乘法法那么 ab=aba0，b0 二次根式的乘法运算法那么，用语言表达为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 注意：两个二次根式相乘，如果两个被开方数有公因数或公因式，就直接用乘法法那么，假设没有公因数或公因式，就分别化为最简二次根式，再利用乘法法那么。3.除法法那么 ab=ab
5、a0，b0 二次根式的除法运算法那么，用语言表达为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。 4.有理化根式。 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 知识点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数一样，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 2 合并同类二次根式 把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数一样的进展合并。 知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正
6、确使用乘法公式 4大多数分母有理化要与时 5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式 如:a/b=ab/bb=ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式 如1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 注意：1.根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。第十七单元 勾股定律勾股定理知识总结：一根底知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即：a2+b2c2要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：1直角三角形的两边求第三边在中，那么，2直角三角形的
7、一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边3利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，那么有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：1首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；2验证c2与a2+b2是否具有相等关系，假设c2a2+b2，那么ABC是以C为直角的直角三角形假设c2a2+b2，那么ABC是以C为钝角的钝角三角形；假设c2a2+b2，那么ABC为锐角三角形。定理中，与只是一种表现形式，不可认为是唯
8、一的，如假设三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出
9、勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三：，化简得证方法一方法二 方法三6：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 7，24，25等用含字母的代数式表示组勾股数：为正整数；为正整数，为正整数二、规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求
10、解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有以下关系：a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进展代数运算，通过学习加深对“数形结合的理解我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。例：勾股定理与勾股定理逆定理第十八单元 一元二次方程一元二次方程知识点：1. 一元二次方程的一般形式: a0时
11、，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根； =0 有两个相
12、等的实根；0 无实根； 0 有两个实根等或不等.4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有以下公式：5. 一元二次方程的解法1直接开平方法 也可以使用因式分解法 解为： 解为： 解为： 解为：2因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为03配方法二次项的系数为“1的时候：直接将一次项的系数除于2进展配方，如下所示：示例：二次项的系数不为“1的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：示例： 4公式法：一元二次方程，用配方法将其变形为：当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 当时，右端是零因此，方
13、程有两个相等的实根： 当时，右端是负数因此，方程没有实根。备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并确定出、求出，并判断方程解的情况。代公式：要注意符号 5当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 ；=b2-4ac 分析，不要求背记)1两根互为相反数 = 0且0 b = 0且0；2两根互为倒数 =1且0 a = c且0；3只有一个零根 = 0且0 c = 0且b0；4有两个零根 = 0且= 0 c = 0且b=0；5至少有一个零根 =0 c=0；6两根异号 0 a、c异号；7两根异号，正根绝对值大于负根绝对值0且0 a、c异
14、号且a、b异号；8两根异号，负根绝对值大于正根绝对值0且0 a、c异号且a、b同号；9有两个正根 0，0且0 a、c同号， a、b异号且0；10有两个负根 0，0且0 a、c同号， a、b同号且0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数围不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -x1+x2x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 设增长率为x： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.2常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一
