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1、漫谈数学竞赛1数学竞赛的产生与发展1.1 溯源解难题竞赛的来龙去脉1.2 数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛1.3 前苏联数学竞赛1.4 美国数学竞赛1.5 国际数学奥林匹克（IMO）2. 数学竞赛在中国2.1 全国高中数学联赛2.2 全国初中数学联赛2.3 全国华罗庚金杯少年数学邀请赛2.4 全国中学生数学冬令营（CMO）2.5 女子数学奥林匹克3. 从数学竞赛与到竞赛数学4. 数学竞赛的教育价值 1 数学竞赛的产生与发展古代不朽之神，美丽，伟大而正直的圣洁之父。祈求降临尘世以彰显自己，让受人瞩目的英雄，在这大地苍穹中，做为你荣耀的见证。 请照亮跑道、角力与投掷项目，这些全力以赴的崇高竞赛，颁赠优
2、胜者长青树编成的花冠，塑造出钢铁般的躯干。有如一白色斑斓的岩石造成这巨大的神殿，世界各地都赶来这神殿，膜拜你，啊！永不朽古代之神。这，就是举世瞩目的国际奥林匹克运动会会歌。在四年一届的奥运会开幕、闭幕式中，在升、降奥运会会旗的一刻，你都能听到这支优美庄严、激越飞扬的歌曲！ 在世界体育史上，奥林匹克运动起源于古希腊的波罗奔尼撒半岛西北部(如今雅典西南360Km处)的一座神庙奥林匹亚, 它是关于体能的竞赛。数学奥林匹克与体育奥林匹克相类似，指的就是数学竞赛活动。数学竞赛是一项传统的智能竞赛项目，智能和体能都是创造人类文明的必要条件，所以前苏联人首创了“数学奥林匹克”这个名词。1.1 溯源解难题竞赛
3、的来龙去脉数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题解数学难题的竞赛和体育奥林匹克一样，有着悠久的历史。古希腊时就有解几何难题的比赛，在我国战国时期则有齐威王与大将田忌赛马的对策故事。在16世纪初期的意大利，不少数学家喜欢提出问题，向其他数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人记忆犹新大约在1515年，波罗尼亚大学数学教授费罗（Scipiouedal Ferro）用代数方法解出了形如类型的三次方程，并把方法秘密传给了他的的得意门生菲奥（AMFior）。意大利数学家丰坦那（Niccolo Fontana），出身贫寒，自学成才，由于童年受伤影响了说话能力，人称“塔塔利亚”（Tar
4、taglia意为口吃者），后以教书为生，他大约在1535年宣布：他发现了三次方程的代数解法。菲奥认为此声明纯系欺骗，向塔塔利亚提出挑战，要求举行一次解三次方程的公开比赛1935年2月22日，米兰大教堂里挤满了人，他们不是来做祈祷的,而是来看热闹的，因为塔塔里亚与菲奥的竞赛在此举行。双方各给对方出30道题，为迎接这场挑战，塔塔利亚作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三次方程的解法，因而大获全胜。从此，塔塔利亚在米兰名声大振。有“天才怪人”之称的既教数学又行医的数学家卡丹(Cardano)闻知此事后,屡次拜访塔塔里亚,目的是想从他那儿得到求解三次方程的公式卡丹的虔诚与承诺(发誓保守秘密
5、)使塔塔利亚放松了警惕,终于将公式给了卡丹。1545年,卡丹的大法（Ars magna）一书在德国纽伦堡出版,书中刊载了塔塔里亚的三次方程求根公式。卡丹食言, 塔塔里亚蒙受欺骗。此后,人们将塔塔里亚发明的公式称作卡丹公式. 下面是一元三次方程卡丹公式 方程的三个根分别为 其中， 一般地，一元三次方程 均可通过变换转化为 的形式. 意大利数学家发现的三次方程的代数解法被认为是16世纪最壮观的数学成就之一 顺便指出，一元四次方程的求根公式是由卡丹的学生斐拉里给出的. 应强调的是，一般一元五次方程及五次以上的方程没有求根公式，这一点已由阿贝尔和伽罗华证得.公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更
6、多人的兴趣，随着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣 1.2 数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛世界上真正意义上的数学竞赛源于匈牙利.1894年，匈牙利数学界为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（LEtvos）荣任匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，这是真正意义上的数学竞赛的开端.本来是叫做Etvs竞赛，后来命名为JszefKrschak竞赛。这一活动除两次世界大战和1956年匈牙利事件中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，限四小时做完，允许使用任何参考书这些试题难度适中，别具风格，虽然用中学生学过的初
7、等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数学的课题中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助匈牙利数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃至国际数学奥林匹克（International Mathematics Olympiad，简称IMO）的命题都产生了重大的影响例如，1974年匈牙利数学竞赛中有一个题目： 【题1.1】 在任意6个人中，总有3个人相互认识或相互不认识。 此题是组合数学中Ramsey问题的最简单情形，以后几十年中这个题目被许多国家反
8、复改造、变形、推广后用作竞赛试题。 匈牙利数学竞赛已有一百多年的历史，数学奥林匹克为匈牙利造就了一大批世界著名学者.美国航天之父冯卡门（1898年匈牙利数学竞赛优胜者）在航空航天时代的科学奇才一书中指出：“根据我所知，目前在国外的匈牙利著名科学家当中，有一半以上都是数学竞赛的优胜者，在美国的匈牙利科学家，如爱德华、泰勒、列夫西拉得、G波利亚、冯诺伊曼等几乎都是数学竞赛的优胜者.我衷心希望美国和其他国家都能倡导这种数学竞赛.”时值世界各国数学竞赛和IMO蓬勃发展的今天，我们深刻地认识到匈牙利数学竞赛在国际数学竞赛史册中占有引人注目的一页。18941974的试题与解答见匈牙利奥林匹克数学竞赛题解（
9、匈牙利N库尔沙克等著，胡湘陵译 . 北京：科学普及出版社，1979）。英文版的匈牙利数学竞赛试题与解答有：（1）Kurschak, J., Hungarian Problem Book, Volumes I, New Mathematical Library, Vols. 11, Mathematical Association of America, 1967. （2） Kurschak, J., Hungarian Problem Book, Volumes II, New Mathematical Library, Vols. 12, Mathematical Association o
10、f America, 1967.（3） Andy Liu ,Hungarian Problem Book , Volumes42，Mathematical Association of America, 2001.下面是1894年匈牙利数学竞赛试题。 1. 证明：若为整数，则表达式或同时能被17整除或同时不能被17整除. 2给定一圆和圆内点求作圆内接直角三角形，使它的一直角边过点，另一直角边过点.点在什么位置时，本题无解？3三角形的三边构成公差为的等差数列，又其面积为.求三角形的三边长和三内角大小，并对的特殊情形求解.自1894年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧步匈牙利的后尘，于1902年开
11、始举办全国性的数学竞赛，在以后的30年中没有其他国家举办过类似的活动前苏联自1934年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始美国于1938年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC），吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加到40年代以后，其他一些国家如保加利亚（1949年）、波兰（1949年）、捷克斯洛伐克（1951年）、中国（1956年）也举行了数学竞赛1.3 前苏联数学竞赛前苏联自1934年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始，1935年莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛并把数学竞赛与体育竞赛相提并论，而且与数学科学的发源地古希腊联系在一起，称数学竞赛为数学
12、奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐由于有许多著名数学家，如狄隆涅、柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫等参与命题工作，所以前苏联的竞赛题质量很高，很多问题具有深刻的数学背景而又以通俗有趣、生动活泼的形式表现出来1946年我国著名数学家华罗庚教授访问前苏联莫斯科期间,狄龙涅与华罗庚提到了莫斯科数学竞赛会的事,当时已举办39次,题目很难.“1945年的一道题将好些教授都给难倒了”(狄龙涅语)。下面的前苏联一次数学竞赛活动纪实是3月21日所记日记的片段(原文见华罗庚著.煦峰,文菂编华罗庚:下棋找高手(中科院院士笔谈录)解放出版社:10-11.)二月二十七日 讲演(一) 讲员 教育科学研究院通讯
13、研究员 马尔库塞维奇教授(A.I.Markushevich) 讲题 级数 听讲者 第七第八级学生(二) 讲员 斯大林奖金获得者刘斯透尔尼克教授 讲题 多角形及多面体 听讲者 第九第十级学生三月二十四日 讲演(一) 讲员 斯大林奖金获得者(科学院研究员) 柯尔莫哥洛夫(A.N.Kolmogoroff) 讲题 对称性 听讲者 第七第八级学生(二) 讲员 斯大林奖金获得者(科学院通讯研究员) 亚历山大罗夫(P.S.Alexandroff) 讲题 复虚数 听讲者 第九第十级学生三月三十一日 讲演(一) 讲员 雅诺夫斯基教授(Prof.S.A.Yanovsky) 讲题 算数与代数 听讲者 第七第八级学生
14、(二) 讲员 杜勃诺夫教授(Prof.Y.S.Dubnoff) 讲题 长度 面积 体积 听讲者 第九第十级学生四月七日 第一次竞赛四月十四日 第一次竞赛的结果与问题解答四月二十一日 第二次竞赛四月二十八日 竞赛会给奖式及莫斯科大学力学数学系教授和优秀学生招待会1.4 美国数学竞赛美国是个数学强国,不乏关心数学竞赛和数学教育的数学家.无论是普及的程度还是提高的程度,它的数学竞赛水平均属上乘.在历届国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称IMO)中美国成绩辉煌,最为辉煌的是1994年在香港举办的第35届IMO,美国队夺得团体冠军,6名队员全部以满分夺取金牌,创下了IMO的纪录.第42届IMO于2001年7月在美国华盛顿举行.1950年美国数学会举办首届高中数学竞赛,美国的中学数学竞赛有:美国高中数学竞赛(AHSME)、美国数学奥林匹克(USAMO)、美国数学邀请赛(AIME)及美国初中数学竞赛(AJHSME). 美国数学竞赛是一个多层次的、呈宝塔型的比较完整的体系.高中数学竞赛（2月）数学邀请赛（3月）数
