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1、拿破仑 李明波 六芒星郝锡鹏提要 2010年5月25日，李明波发现竟然顺理成章地存在拿破仑三角形的共轭三角形，两者神奇的构成了普通三角形的六芒星。引理1 两个直接相似三角形对应顶点连线上的等比例分点，是位似中心或是与原三角形直接相似的三角形顶点。证明 若两个直接相似三角形对应顶点连线交于一点，该点便是位似中心，它分每条对应点连线成比例是人们所熟知的，所以对引理1中三个等比分点合一的情况讨论从略。下面只讨论此外的情况。图 1已知即/=/=/,另/=/=/=。连辅助线如图，且使/=/=。1、因,所以/=/=/(+1)；因,所以/=/=/(+1)。得/=/即/=/ （1）2、因,所以/=/=1/(+
2、1)；因,所以/=/=1/(+1)。得/=/即/=/ （2）3、由（1）、（2）和已知条件可知/=/ （3）4、作、,则=、=。而=，故得= （4）5、由（3）、（4）两式知,得/=/=/（注意（2）式），即 /=/ （5）6、用与上述过程完全类似的方法还可以证明/=/ （6）7、综上所述由（5）、（6）式可得/=/=/ （7）从而可知。证毕。引理2 正和正镜像相似且顶点和点重合，则正（或正）和与的重心，是一正三角形的顶点。图 2证明 如图2，两个蓝色的是正三角形，、分别是和的中点，是正关于的对称图形；、分别分两个正三角形和的对应顶点连线、为1：2，则、分别是、的重心，由引理1可知，红色的也是
3、正三角形。证毕。李明波用引理1-2直接得出如下系列定理：定理1 在外侧作正、，则三个正三角形的重心和、的重心是一个正六边形的顶点，的重心是该正六边形的中心。 定理2（拿破仑三角形） 在外侧作正、，则三个正三角形的重心是一个正三角形的顶点。 定理3（李明波三角形） 在外侧作正、，则、的重心是一个正三角形的顶点。 定理4 拿破仑三角形与李明波三角形合成普通三角形的六芒星。拿破仑（Napolon Bonaparte，1769年8月15日1821年5月5日）知我者，李明波老弟也！ 定理5 在外侧作正三角形和，和分别在和上且使/=/,则三角形是正三角形。评述1、 李明波的定理5，把经典几何从普通三角形变
4、换出正三角形看做一种神奇（如拿破仑三角形、莫莱三角形），推进到了从普通一角就可以转化出正三角形的时代。定理1-5也可以把外字改写成内字。2、拿破仑三角形已经有200年的历史了，然而它还顺理成章地存在共轭三角形，这的确是一种稀奇。众将官：带上法兰西好酒，随我去拜访李明波老弟！3、据说，梁东元和陈省身有一段对话，梁东元问：究竟怎么样才算不好的数学，这方面应该也有不少例子吧。陈省身答：举个例子，大家也许知道有个拿破仑定理。据说这个定理和拿破仑有点关系。它的意思是说，任何一个三角形，各边上各作等边三角形，接下来将这三个三角形的重心联结起来，那么就必定是一个等边的三角形，各边上的等边三角形也可以朝里面作，于是可以得到两个解。像这样的数学，就不是好的数学，为什么?因为它难以有进一步的发展。4、上述观点无疑是陈省身先生的一种短见，历史将会证明，李明波通过研究拿破仑三角形而得出的引理1将具有更为重要的意义。李明波（1963-）让我们用一句名言来结束本文：人们所知道的事情，并非都是简单的；简单的事情，并非都是人们所知道的。 李明波拿破仑酒8
