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1、东北师大附中20112012学年高三数学（理）第一轮复习导学案 064 二项式定理 编写教师：杨艳昌 审稿教师：刘彦永一、知识梳理 1二项式定理.这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数. 式中的叫做二项展开式的通项，用表示. 通项公式：. 特别地，；.注意：项的系数与二项式系数是不同的两个概念，当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为2二项式系数的性质：（1）对称性：在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即（2）增减性与最大值：当时，二项式系数是逐渐增大的，当时
2、，二项式系数是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，二项式系数最大；当n是奇数时，二项式系数最大（3）二项式系数的和：二项展开式的二项式系数的和等于2n, 即. 另外，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 .二、题型讲解：题型一 通项公式的应用例1（1）若为有理数），则 70 （2） 在二项式的展开式中，含的项的系数是( B ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) (B) (C) (D) （3）展开式中的常数项为（ D ）(A)1 (B)46 (C)4245 (D)4246题型二 赋值法在二项展开式中的应用例2 已知，求：（1）a1+ a2 +a3 +a20
3、12; (2) ;(3) a1+ a3 +a5 +a2011 ;(4) a0+a1 +a2+a2012.【答案】（1）0；（2）2012；（3）；(4) 32012.题型三 二项式系数性质的应用例3 已知（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解：（1），即或当时，二项式系数最大项为和所以的系数为；的系数为；当时，二项式系数最大项为 ，所以的系数为（2）由知设的系数最大，所以，解得所以展开式中系数最大的项为题型4 二项式定理的应用例4 若能被7整除，则x,n的值可能为
4、（ C ）（A）4,3 (B)4,4 (C) 5,4 (D) 6,5例5 被19除所得的余数是 13 三、反思感悟： 四、课时作业一、选择题（1） 的展开式中的系数是（ D ）（A）16（B）70（C）560（D）1120（2）设则中奇数的个数为（A ）（A）2（B）3 （C）4（D）5（3）在的展开式中，含的项的系数是(A ) （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274（4）若的展开式中，只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项为（ D ）（A）120 （B）220 （C）462 （D）210（5） 展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为（D
5、 ）（A） （B） （C） （D） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （6）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中=1，则展开式中常数项是（ D ）(A)45i (B) 45i (C) 45 (D)45【解析】第三项的系数为，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为可得n10，则，令405r0，解得r8，故所求的常数项为45，选D(7) 的展开式中x的系数是 ( C )(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(8) 在（x）2006 的二项展开式中，含x奇次幂的项之和为S，若x，S等于（ B ） (A) 23008 (B) 23008 (C)23009 (D) 23
6、009【解析】设（x）2006a0x2006a1x2005a2005xa2006当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a20060 （1）当x时，有a0（）2006a1（）2005a2005（）a200623009 （2）（1）（2）有a1（）2005a2005（）23009223008，故选B二、填空题（9） 的展开式中的系数为 6 （10）已知的展开式中没有常数项，且，求=_5_（11）若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 540 （12）设，二项式展开式中含项的系数是192 三、解答题（13） 若,求（1）a1+ a2 +a3 +a10； (2)( a1
7、+ a3 +a5 +a9)2 ( a0+ a2 +a4 +a10 )2.【答案】（1）2；（2）1041（14）把1（1x）(1x)2（1x）n展开成关于x的多项式，求各项系数和为an，及含x项的系数bn .【答案】 an=，bn。（15）若,求的值【答案】由题意容易发现,则, 同理可以得出,亦即前2008项和为0, 则原式=(16) 若展开式中前三项的系数成等差数列（1）求展开式中关于x的有理项;（2）求展开式中二项式系数最大的项;（3）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）由条件，令，r = 0, 4, 8，则关于x的有理项为.（2）展开式中系数最大的项为第五项，即（3）设的系数最大，则所以系数最大的项为第三项和第四项，即，0645
