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1、极限概念教学设计极限的观点教课方案公共教课部 数学教研室 徐小丽1、 教课内容剖析使用教材：高等数学应用教程 ，许艾珍主编，北京：航空工业第一版社， 初版。第一章第二节极限的观点 。内容剖析：极限描绘性观点的形成过程，是学生有感性认识初步上涨到理性认识，进而形成、培育理性思想能力的过程。极限思想是高等数学的重要思想方法，也是学习微积分的理论基础。理解极限的观点，对提高学生的抽象思想能力、逻辑推理能力和严实思想能力都拥有踊跃的意义。2、 学生学习状况剖析高等数学是学生学习比较困难的学科之一，难学是由于高等数学中的抽象思想对学生的巨大考验。极限的观点是学生接触高等数学后碰到的第一个要点，又是难点，
2、更为增添了学习的困难。理解好极限的观点，对学生达成从形象思想到抽象思想的转变，从感性认识到理性认识的升华拥有重要意义，同时也能加强学生学好高等数学的信心。教师应注意耐心指引学生充足感觉用静态的有限量来刻画动向的无穷量的方法和过程，充分利用教材的有关例题对观点进行深入，进而加深学生的认知和理解。3、 设计思想本教课方案以“任务教课法”为主要框架，将教课目的分解成两大学习任务：知识学习任务和实验认知任务，每项任务由分解成若干个子任务，让学生在接受一项项子任务的过程中完成学习目标，同时每达成一项子任务也能加强学生信心，激发学习动机。教课过程由“任务驱动”引入，激发学习兴趣；将知识教课内容分为 5 个
3、子任务，每个子任务为一个知识点，加强学习信心；实验任务分为 3 个子任务，任务一学会使用极限命令，任务二在实例中领会极限的思想和特色，任务三进一步加深对极限思想的理解，并培育学生经过探究自主学习的能力和对数学的热爱；实验任务分组实现，培育学生的团队合作精神和良性竞争意识。数列的极限函数极限的观点知识任务简单的函数极限议论教函数极限存在的充要条件极 学限的概分段函数在分段点处的极限问题目标念 极限命令的应用 连续计息问题你能成为百万富豪吗？实验任务Koch 雪花曲线一个不行能的结论！教课方法手段以教育部对于全面提高高等职业教育教课质量的若干建议 （教高 200616 号）文件为指导思想，融“教、
4、学、做”为一体，加强学生能力的培育。利用教、学、做的最优化组合进行教课方案，改变学生对数学的传统观点，使学生愿学数学，热爱数学，以达到高职数学课程的教课目的。解说激励教启迪 最优化组合练习实验教课学 做议论任务教课自学 情境教课4、 教课目的知识教课目的： 1、理解极限的实质；2、认识数列、函数极限的描绘性定义；3、会求简单的函数极限；4、掌握函数极限存在的充要条件；5、娴熟掌握议论分段函数在其分段点处极限的方法 .能力训练目标： 1、经过对极限观点的理解，培育学生擅长总结事物变换规律的思想能力；2、经过对函数极限存在性的判断，培育学生思想能力，剖析问题能力；3、经过实验任务，培育学生知识迁徙
5、能力，辩证思想和创新思想能力 .感情培育目标： 1、让学生认识数学史，走近高等数学，战胜害怕心理；加强学生对数学文化的认识，培育热爱学习的感情；2、让学生认识身旁的数学，激发学习兴趣，减少学生与数学的距离感；加强学生对未知世界的好奇心，培育勇于探究的创新意识 .5、 教课要点和难点教课要点：极限观点的理解；函数极限能否存在的判断 .教课难点：数列、函数极限观点与实质的理解 .6、 教课过程设计引入： 经过 “芝诺悖论” 提出极限思想， 同时浸透数学文化， 让学生认识高等数学， 缩短距离感， 并惹起学生兴趣，激发学习热忱。【任务驱动】古希腊哲学家芝诺曾提出四个悖论对数学以致哲学都产生了巨大影响此
6、中最有名的悖论是“阿基里斯永久追不上一只乌龟”阿基里斯是古希腊神话中善跑的英豪 .在他和乌龟的比赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面 100 米跑，他在后边追，但他不行能追上乌龟 .由于在比赛中， 追者第一一定抵达被追者的出发点， 当阿基里斯追到 100 米时，乌龟已经又向前爬了 10 米， 于是， 一个新的起点产生了； 阿基里斯一定继续追，而当他追到乌龟爬的这 10 米时，乌龟又已经向前爬了 1 米，阿基里斯只好再追向那个 1 米.就这样，乌龟会制造出无量个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不论这个距离有多小，但只需乌龟不断地奋力向前爬，阿基里斯就永久也追不上乌龟！5 分事实上我们知
7、道：能追上可该怎样解说芝诺悖论呢？为了求解某些实质问题的精准解答，渐渐形成了极限的观点 .极限思想已经成为高等数学中的一种基本思想方法 .引例：从感性认知出发，理解有限与无穷的实质差别【任务一】数列的极限? 引例：试比较 与1的大小？有人说?不论后边有多少个 9，它永久都比 1 要小事实上我们知道：教师：极限的实质是1 ? ?9199 1.无穷！可怎样解说前面学生的想法呢？这两个问题都让人想不通的根本所在是，它们都是 无穷 的，人不可以用有限的想象去解说无量的世界下边，让我们走进无量的世界，来认识极限的观点定义 1.2.1 假如数列 a 的项数 n 无穷增大时，它的通项 an 无穷接n近于某一
8、个确立的常数 a ，则称 a 是数列 a 的极限 ，此时也称数列 ann收敛 于a ，记作方法：从一般到特别的演绎法思想。lim an a 或 an a (n ) n教师：举例（无量数列，请学生说出种类1如， 0limnn1或 0 (n )n；学生：按自然组抢答比赛limnnn 11n或 1(n )n 1；目标：充足发掘大班定义 1.2.2 假如数列 a 的项数 n无穷增大时，它的通项 an 不靠近n教课优势，提高讲堂氛围，培育良性竞争于任何确立的常数，则称数列 a 没有极限，或称数列 an 发散n意识和团队合作精神注意： 当 n 无穷增大时，假如a 无穷增大，则数列没有极限这时，n15 分习
9、惯上也称数列 a 的极限是 无量大 ，记作nlim a nnn如 ， lim ( 1) 2n 和nlimn( 1)n 1都 不 存 在 ， 但 是 前 者 可 以 记 作limn(n1)2n难点打破第一步 ：与数列极限观点对照理解（数列是特别的函数） ，经过类比法让学生顺利接受函数极限的观点。【任务二】函数极限的观点我们已经认识了数列极限的观点，数列的实质是自变量只好取自然数的一种特别的函数，即 y f (n), n N ，数列极限就是研究当自变量难点n 时，函数值 f (n) 的变化趋势对于一般函数 y f ( x), x D（ D R 能够是无界地区，也能够是有界地区）而言，也能够研究在自
10、变量 x 的变化过程中函数值 f (x) 的变化趋势 这里的自变量 x 的变化过程是指有两种情况：一种是 x 的绝对值 |x|无穷增大（记作 x ）；另一种是 x无穷靠近于某一值 x0，或许说 x 趋势于 x0 （记作 x x0 ）下边分别对 x在这两种不一样的变化过程中函数 f ( x) 的极限问题议论以下：1、当 x 时函数 f（x）的极限在数列的极限中， 记号 n 的意义是指数列的项数依据自然数的顺序无穷增大而函数的自变量 x 是指 x的绝对值无穷增大，它包括以下两种状况：（1） x 取正当，无穷增大，记作 x ；方法：从形象思想到（2）x 取负值， 它的绝对值无穷增大 （即 x 无穷减
11、小） ，记作 x 抽象思想的训练若 x 不指定正负，不过 x 无穷增大，则写成 x 例 1 议论函数 1 1y 当 x 和 x 时的变化趋势x1 yy 的图像（图 1）解：作出函数 1x由图能够看出，当 x 和 x 时，学生：从函数图象上察看极限的存在，并另举一例。1y 1 1，x所以当 x 时， 1 1 1 y x11 xO难点打破第二步 ：举例函数图象，让学生从直观形象上理解函数极限的观点， 防止抽象思想的图 1困难。定义 1 假如当 x 无穷增大（即 x ）时，函数 f（x）无穷趋近于一个确立的常数 A，那么就称 f（x）当 x 时存在极限 A，称数 A 为当x 时函数 f（x）的极限，
12、记作lim f x A x近似地，假如当 x （或 x ）时，函数 f (x) 无穷地趋近于一个确立的常数 A，那么就称 f (x)）当 x （或 x ）时存在极限 A，称数 A 为当 x （或 x ）时函数 f (x) 的极限记作或 lim f x A( lim f x A)x x难点打破第三步： 从学生熟习的常有基本初等函数举例出发， 方法：逐层深入，循从 x 过渡到x x ，说明新的极限形式存在的意义 .0序渐进对 于大多 数 函数 ，如 ： y ex (x ) 、 y ln x(x ) 、y axn 、 y sin x(x ) ，极限都不存在 .所以有必需研究(x )另一种无穷靠近的形
13、式，即x x .02、当 x x0 时，函数 f（x）的极限与 x 的情况近似，x x 包括 x 从大于 x0 的方向和从 x小于 x00的方向趋近于x 两种状况，分别用：0（1）x x 表示 x 从大于0x 的方向趋近于 x0 ；0（2） x x0 表示 x 从小于 x0 的方向趋近于 x0 记号x 表示 x 无穷趋近于 x0 ，对从哪个方向趋近没有限制x0例 2 议论当 x 2 时，函数 y x 1的变化趋势解：作出函数 y x 1的图像（图 2）由图 2 能够看出， 不论 x 从小于 2 的方向趋近于 2，或许从大于 2 的方向趋近于 2，函数 y x 1的值老是跟着自变量 x 的变化从两个不一样的方向越来越靠近于 3 ，所以说当 x 2 时 y x 1 3yy2x 1y=x +1 y= 3 x 13 ? ? 22 11 xxO O 1 21 2图 2 图 3要点突出： 经过 2 个实例的对照， 解说函数在xx0时的极限与函数在x 处有无定义没关！0方法：类比学习法，与定义 1 比较理解例 3 议论当 x 1时，函数2x 1y 的变化趋势x 1学生：经过议论，自主学习解：作出函数2x 1y 的图像（图 3）x 1教师：启迪、概括、总结函数的定义域为 ( ,1 ) ( 1, ) ，在 x= 1 处函数没有定义，但从图 3目标：在掌握
