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1、第2课时等差数列前n项和公式的变形及应用学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值知识点一等差数列前n项和与等差中项的关系思考在等差数列an中，若a32，求S5.答案S555a310.梳理等差数列an的前n项和Sn，其中为a1，an的等差中项，若结合性质“mnpq得amanapaq，”还可把a1an换成a2an1，a3an2，.知识点二等差数列前n项和的最值思考我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Snn2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n项和Sn何时有最大值？何时有最小值？答案由二次函数的性质可以得出：当a10时，Sn
2、先减后增，有最小值；当a10，d0，d0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值(2)若a10，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值；若a10，d0，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140，d0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和若a10，则Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法：寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
3、或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练2已知在等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？考点等差数列前n项和最值题点求使等差数列前n项和取最值时的n值解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)方法一由(1)知，a19，d2，Sn9n(2)n210n(n5)225，当n5时，Sn取得最大值方法二由(1)知a19，d20，n6时，an0；当n35时，ana5，则Sn取得最小值时n的值为_考点等差数列前n项和最值题点求使等差数列前n项和取最值时的n值答案6解析由7a55a90，得
4、.又a9a5，所以d0，a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.一、填空题1数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则_.考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和性质其他问题答案1解析等差数列前n项和Sn的形式为SnAn2Bn，1.2在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2 011S2 014，SkS2 009，则正整数k_.考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和与中间项的关系答案2 016解析因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及
5、S2 011S2 014，SkS2 009，可得，解得k2 016.3若数列an满足：a119，an1an3(nN*)，则数列an的前n项和数值最大时，n的值为_考点等差数列前n项和最值题点求使等差数列前n项和取最值时的n值答案7解析因为an1an3，所以数列an是以19为首项，3为公差的等差数列，所以an19(n1)(3)223n.设前k项和最大，则有所以即k.因为kN*，所以k7.故满足条件的n的值为7.4含2n1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为_考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列奇偶项和问题答案解析S奇，S偶，a1a2n1a2a2n，.5等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.考点等差数列前n项和性质运用题点等差数列前n项和与中间项的关系答案10解析因为an是等差数列，所以am1am12am，由am1am1a0，得2
