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1、河南省名校联盟2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2下列命题中正确的是（ ）A若
2、，则B若，则C若，则D若，则3设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ）A1B2C3D44在中，已知，则等于（ ）A或BCD5下列四个结论：命题“”的否定是“”；若是真命题，则可能是真命题；“且”是“”的充要条件；当时，幂函数在区间上单调递减其中正确的是（ ）ABCD6已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）ABCD7的展开式中的系数为（ ）ABCD8直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD9某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之
3、间的人数约为（ ）ABCD10已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD11若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）ABCD12已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若平面向量，满足，平行于轴，则 14实数，满足约束条件：，则的取值范围为 15半径为的球面上有，四点，且，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 16如图，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则 三、解答题：本大题共6大
4、题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在数列中，当时，其前项和满足（1）求的表达式；（2）设，求的前项和18（12分）如图所示的三棱柱中，平面，的中点为，若线段上存在点使得平面（1）求；（2）求二面角的余弦值19（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)将统计数据按，分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；（2）
5、从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望20（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，且为抛物线，求的最小值21（12分）已知函数，（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明： 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极
6、坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，求的值23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数（1）当，求不等式的解集；（2）设对恒成立，求的取值范围2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C【解析】由题意，集合，或，则2【答案】C【解析】A时不成立；B，则，因此不正确；C，则，正确；D取，满足条件，但是不成立，故选C3【答案】B【解析】构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故
7、在定义域上单调递增，由，则函数的零点在之间，故，4【答案】C【解析】由正弦定理知，或，又，5【答案】A【解析】命题“”的否定是“”，特称命题的否定是换量词，否结论，不变条件，故选项正确；若是真命题，则和均为真命题，则一定是假命题，故选项不正确；“且”，则一定有“”，反之“”，也可以满足，即，的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确；当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，函数单调递增，函数单调递减故选项正确6【答案】B【解析】正项等比数列的前项和为，解得，7【答案】C【解析】，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，则，解得，所以，展开式中
8、的系数为8【答案】C【解析】如图所示，直线过点，圆的圆心坐标，直线与曲线有且仅有个公共点，设为，则，直线与曲线相切时，或(舍去)，直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是9【答案】C【解析】，所以，所以此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为故选C10【答案】C【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，则四边形是平行四边形，取，点到直线的距离不小于，解得，椭圆的离心率范围是11【答案】B【解析】对于函数，令，解得，当时，令，则；对于函数，令，解得，当时，令，则易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，的最小值为，所以的最大值为12【答案】B【解析】，令，解得或，当或时，；当时，在上单调递
9、增，在上单调递减，在上单调递增，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，作出的大致函数图象如图所示，令，则当或时，关于的方程只有一个解；当时，关于的方程有两个解；当时，关于的方程有三个解，恰有四个零点，关于的方程在上有一个解，在上有一个解，显然不是方程的解，关于的方程在和上各有一个解，解得，即实数的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】或【解析】，则或14【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：其中，因为表示与点连线斜率，由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为所以的取值范围为15【答案】8【解析】将四面体置于长方体模型中，则长方体外接球半径为，不妨设，
10、则记，即，当且仅当时“”成立16【答案】【解析】连结、，可得是边长为的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由，解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1），即，由题意得，式两边同除以，得，数列是首项为，公差为2的等差数列，（2），18【答案】（1）；（2）【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，连接，在平面内过点作的垂线交
11、于，连接，依题意易得，五点共面，因为平面，所以，在中，因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，代入，得（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，设平面的法向量为，则可以为，因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为19【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，故的估计值为乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为又，故事件的概率为（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙
12、站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为显然，的可能取值为0，1，2，3且，所以；故随机变量的分布列为：20【答案】（1）；（2）【解析】（1），而，又，得，故椭圆的标准方程为（2）由（1）知，故，设，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程；当时，直线的斜率为，直线的方程为；设，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为21【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1），令，则，所以在上是增函数，又因为当时，；当时，所以，当时，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在使，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是（2）由（1）知，即，所以，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，所以，即22【答案】（1），；（2）【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，由，得，又，所以的直角坐标方程为（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为设点，的极坐标分别为，则，所以，所以，即，解得，又，所以
