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1、【创新设计】2016届数学一轮 探究课二 理 新人教B版 (建议用时：80分钟)1(2015毕节二模)已知f(x)xln x(x0)(1)求f(x)的最小值(2)F(x)ax2f(x)(aR)，讨论函数f(x)的单调性解(1)由f(x)xln x，得f(x)ln x1(x0)，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，当x时，f(x)minln .(2)由题意及(1)知，F(x)ax2ln x1(x0)，所以F(x)2ax(x0)当a0时，恒有F(x)0，则F(x)在(0，)上是增函数；当a0时，令F(x)0，即2ax210，解得0x；令F(x)0，即2ax210，解得x.综
2、上，当a0时，F(x)在(0，)上是增函数；当a0时，F(x)在上单调递增，在上单调递减2已知f(x)axln x，x(0，e，g(x)，其中e是自然常数，aR.(1)讨论a1时，函数f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由(1)解当a1时，f(x)xln x，x(0，e，f(x)1，x(0，e，当0x1时，f(x)0，此时f(x)的单调递减；当1xe时，f(x)0时，此时f(x)的单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e上的
3、最小值为1，f(x)min1.又g(x)，当0xe时，g(x)0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，f(x)ming(x)max，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则f(x)a，x(0，e当0e时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln a3，ae2，满足条件；当e时，f(x)在(0，e上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以，此时f(x)无最小值综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)有最小值3.3(2015南京调研)已知函数f(x)exmx，其中m
4、为常数(1)若对任意xR有f(x)0恒成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由解(1)依题意，可知f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增故当xm时，f(m)为极小值也是最小值令f(m)1m0，得m1，即对任意xR，f(x)0恒成立时，m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点故f(x)在0，2m上有两个零点4(
5、2014北京卷)已知函数f(x)xcos xsin x，x.(1)求证：f(x)0；(2)若ab对x恒成立，求a的最大值与b的最小值(1)证明由f(x)xcos xsin x，得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0，所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)解当x0时，“a”等价于“sin xax0”；“b”等价于“sin xbx0”令g(x)sin xcx，则g(x)cos xc.当c0时，g(x)0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cos xc0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立
6、当0c1时，存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.于是，当x变化时，g(x)，g(x)在区间的变化情况如下：X(0，x0)x0g(x)0g(x)极大值因为g(x)在区间0，x0上是增函数，所以g(x0)g(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即0c.综上所述，当且仅当c时，g(x)0对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若ab对任意x恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.5已知函数f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)若yf(x)在上存在单调递增区间，求m
7、的取值范围；(3)已知函数yf(x)有三个互不相同的零点0，x1，x2，且x1x2，若对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立，求m的取值范围解(1)m2时，f(x)x3x23x，f(x)x22x3，切线斜率kf(3)0，又f(3)9，切线方程为y9.(2)f(x)x22xm21，其对称轴为x1，则f(x)在(1，)单调递减，由条件知f0，m2，又m0，m.(3)f(x)(x0)(xx1)(xx2)，x1，x2为方程x2xm210的两根，x1x23，且0，结合m0，解得m.x1x2，x2，下面讨论x1与1.若x11x2时，即1x1，x2，则f(1)(10)(1x1)(1x2)，f(1)0，
8、而f(x1)0，与条件矛盾若1x1x2，则对xx1，x2，f(x)x(xx1)(xx2)0，又f(x1)0，f(x)在x1，x2上的最小值为0.又f(x)f(1)恒成立，f(x)minf(1)，即0f(1)，m20m.由知，m的取值范围为.6(2015晋中模拟)已知函数f(x)ax2(2a1)x2ln x(aR)(1)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)x22x，若对任意x1(0，2，均存在x2(0，2，使得f(x1)g(x2)，求a的取值范围解f(x)ax(2a1)(x0)(1)由题意知f(1)f(3)，即a(2a1)23a(2
9、a1)，解得a.(2)f(x)(x0)当a0时，x0，ax10，在区间(0，2)上，f(x)0；在区间(2，)上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，)当0a时，2，在区间(0，2)和上，f(x)0；在区间上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)和，单调递减区间是.当a时，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是(0，)当a时，02，在区间和(2，)上，f(x)0；在区间上，f(x)0，故f(x)的单调递增区间是和(2，)，单调递减区间是.(3)由题意知，在(0，2上有f(x)maxg(x)max.由已知得g(x)max0，由(2)可知，当a时，f(x)在(0，2上单调递增，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)2ln 22a22ln 2，所以2a22ln 20，解得aln 21，故ln 21a.当a时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，故f(x)maxf 22ln a.由a可知ln aln ln 1，所以2ln a2，即2ln a2，所以，22ln a0，所以f(x)max0，综上所述，aln 21.5
